Partikuläre Lösung einer DGL am Beispiel des Schwingkreises

Question

Aufgabe:

Ich soll in einem Schwingkreis in dem eine Spule, ein Kondensator und Widerstand eingebaut sind DGLs lösen.

Ersteren Aufgabenteil habe ich wohl hingekriegt, nun soll in dem weiteren Aufgabenteil eine Wechselspannungsquelle hinzugefügt werden. In der Aufgabenstellung heisst es ich solle die Differentialgleichung für Q(t) aufstellen, welches nach der Maschenregel kein Problem wäre aber ich solle dafür die komplexen Zahlen mit der partikulären Lösung dazu anwenden.

Zum Schluss der Aufgabe soll die Phase und Amplitude berechnet werden.

Problem/Ansatz

Es wird eine Formel gegeben für die Wechselspannung in Abhängigkeit der Zeit.

$$U_c(t)= U_0\cos(\omega t)$$

Da sich in der ganzen Konstruktion nur 1 Bautelement ändert, kann ich da nicht einfach dann die allg. DGL des vorherigen Aufgabenteils nehmen und dann wie in der Mechanik die Inhomogene DGL Lösen ?

$$ \frac{d^2Q(t)}{dt^2}+ \frac{R}{L}\frac{dQ(t)}{dt}+\frac{1}{CL}Q(t)=0$$

Dies hätte ich als allg. DGL aus der vorherigen Aufgabe. Ich würde nun sagen, dass es einmal die homogene Lsg gibt, mit der DGL und einmal die partikuläre (inhomogen ? ) Lösung.

Strenggenommen soll die Aufgabe am Freitag abgegeben werden, mir wird es nicht zu schaden kommen, wenn ich den Rest der Aufgabe nicht einreiche. Wäre ja auch nicht von mir, wenn jemand hier einfach eine Lösung zu einer Aufgabe durchrechnet und ich diese einfach nur abschreibe.

Comments

Hallo a0k. Bist du sicher, dass U_C(t) gegeben ist, also die Spannung über dem Kondensator? Und nicht etwa die an den Schwingkreis angelegte Gesamtspannung U(t)? Kannst du bitte die Aufgabe im Original posten?

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Text erkannt:

Im zweiten Schritt wird eine Wechselspannungsquelle \( U(t)=U_{0} \cos \omega t \) in den Stromkreis integriert.
(c) (3 Punkte) Stellen Sie die Differentialgleichung für die Ladung \( Q(t) \) auf. Benutzen Sie komplexe Zahlen, um die partikuläre Lösung \( Q_{P}(t) \) dieser Differentialgleichung zu bestimmen d.h. benutzen Sie den Ansatz \( Q_{P}(t)=A e^{i \omega t} \) wobei \( A \) eine komplexe Zahl ist. Bestimmen Sie die Amplitude \( |A| \) und die Phase \( \phi \) der komplexen Amplitude \( A=|A| e^{i \phi} \) als Funktion von \( U_{0}, R, C \) und \( L \).

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Aha. Es ist also nicht U_C(t) gegeben, so wie es ganz oben steht, sondern U(t). Das verändert die Sache grundlegend. Ich gebe dir in einer ruhigen Minute Antwort, wenn mir niemand zuvorkommt.

Answer 1

Hallo a0k. Wir stellen die Maschengleichung des Stromkreises auf und erhalten:

Da wir für Q einen komplexen Ansatz wählen, muss auch die rechte Seite der Gleichung komplex geschrieben werden. Wie lautet dann die Gleichung?

Comments

Hi, in einem Video zur Wechselspannung und komplexen Zahlen fand ich heraus, dass es angenehmer ist mit denen zu arbeiten weil man Phasenverschiebungen nicht so gut mit den trig. Formeln beschreiben kann.

Sprichwort, Addition innerhalb der Potenz ist Multiplikation der Basis.

Was ich damit ausdrücken möchte ist, dass sich:

$$ U_0 \cos({\omega t } )$$ umschreiben lässt zu

$$U_0 e^{i \omega t}$$

Ich würde nun im folgenden versuchen die DGL zu lösen bzw. das wäre mein nächster Ansatz.

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Das ist die perfekte Antwort! Also ersetze U_0 * cos(omega t) und setze für Q(t) überall den in der Aufgabe gegebenen Ansatz ein. Wie lautet die Gleichung dann?

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Mit dem Ansatz$$A e^{i \omega t}$$  und dem ersetzen von U_0 erhalte ich folgende Gleichung.

$$A i^2\omega^2 e^{i \omega t}+ A\frac{R}{L}i\omega e^{i \omega t}+ A\frac{1}{CL}e^{i \omega t}= U_0 e^{i \omega t} $$

Ich hatte mir gedacht dann umzustellen und nach A aufzulösen usw.

Aber ich fande das Endresultat eigenartig bzw nicht zufriedenstellend.

Mann könnte zb -U_0 abziehen, dann kann man die e Terme rausstreichen weil diese nie 0 werden und im folgenden wieder addieren auf der anderen Seite. Finde ich aber dämlich und ziemlich untypisch. Dann blieben zwar nur noch die anderen Variablen und man könnte das A auf der linken Seite vorher Rausziehen und dann am Ende U_0 durch die ganzen anderen Terme rechnen aber es schien mir nicht das richtige zu sein.

So zb.

$$A (i^2\omega^2+ \frac{R}{L}i\omega + \frac{1}{CL}=U_0$$

$$A=\frac{U_0}{ (i^2\omega^2+ \frac{R}{L}i\omega + \frac{1}{CL})}$$

Selbst wenn ich weiter an den Betrag denke, habe ich unter der Wurzel das Quadrat zu rechnen.

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Fast korrekt. Das „L“ im Nenner ist falsch. Da müsste ich deinen ganzen Lösungsweg sehen. Geh von meinem Ansatz aus, nicht von deinem. Und i^2 musst du noch berechnen.

Jetzt kannst du |A| und Phi berechnen. Was kommt da raus?

Bin dann morgen wieder online.

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Ach, ich glaube ich sehe es, ich hab doch unten nur eine Summe aber auch Doppelbrüche. Ich glaube wegen der Klammer habe ich die Brüche hochgezogen.

Ich hab auf Papier mal versucht den Betrag zu berechnen, ich probier es gleich mal aus mit dem Hinweis.

Ich bin morgens früh Ausnahmsweise schon um 6 Uhr wach. Ich kann dannach versuchen meine Rechnung abzutippen.

Falls ich wach bleibe. Für mich persönlich ist es nicht schlimm, wenn ich ab dem Aufgabenteil c) nicht einreiche aber nach 12 Uhr würde ich dannach weiter arbeiten. Es geht um die Methoden der Aufgaben für mich zu erkennen, ich werde garantiert noch einige DGLs mit komplexen Lösungen begegnen.

Damit dir ein Dankeschön und schönen Abend noch.

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Achja bezüglich deinem Ansatz, in dem Aufgabenteil a) sollte man Anhand der Skizze die DGL herleiten die ich oben habe, diese ist auch zum "prüfen" in der Aufgabe gestellt, also gehe ich davon aus, dass es schon in Ordnung ist.

Text erkannt: