Partikuläre Lösung einer DGL am Beispiel des Schwingkreises

Question

Aufgabe:

Ich soll in einem Schwingkreis in dem eine Spule, ein Kondensator und Widerstand eingebaut sind DGLs lösen.

Ersteren Aufgabenteil habe ich wohl hingekriegt, nun soll in dem weiteren Aufgabenteil eine Wechselspannungsquelle hinzugefügt werden. In der Aufgabenstellung heisst es ich solle die Differentialgleichung für Q(t) aufstellen, welches nach der Maschenregel kein Problem wäre aber ich solle dafür die komplexen Zahlen mit der partikulären Lösung dazu anwenden.

Zum Schluss der Aufgabe soll die Phase und Amplitude berechnet werden.

Problem/Ansatz

Es wird eine Formel gegeben für die Wechselspannung in Abhängigkeit der Zeit.

$$U_c(t)= U_0\cos(\omega t)$$

Da sich in der ganzen Konstruktion nur 1 Bautelement ändert, kann ich da nicht einfach dann die allg. DGL des vorherigen Aufgabenteils nehmen und dann wie in der Mechanik die Inhomogene DGL Lösen ?

$$ \frac{d^2Q(t)}{dt^2}+ \frac{R}{L}\frac{dQ(t)}{dt}+\frac{1}{CL}Q(t)=0$$

Dies hätte ich als allg. DGL aus der vorherigen Aufgabe. Ich würde nun sagen, dass es einmal die homogene Lsg gibt, mit der DGL und einmal die partikuläre (inhomogen ? ) Lösung.

Strenggenommen soll die Aufgabe am Freitag abgegeben werden, mir wird es nicht zu schaden kommen, wenn ich den Rest der Aufgabe nicht einreiche. Wäre ja auch nicht von mir, wenn jemand hier einfach eine Lösung zu einer Aufgabe durchrechnet und ich diese einfach nur abschreibe.

Comments

Hallo a0k. Bist du sicher, dass U_C(t) gegeben ist, also die Spannung über dem Kondensator? Und nicht etwa die an den Schwingkreis angelegte Gesamtspannung U(t)? Kannst du bitte die Aufgabe im Original posten?

---

Text erkannt:

Im zweiten Schritt wird eine Wechselspannungsquelle \( U(t)=U_{0} \cos \omega t \) in den Stromkreis integriert.
(c) (3 Punkte) Stellen Sie die Differentialgleichung für die Ladung \( Q(t) \) auf. Benutzen Sie komplexe Zahlen, um die partikuläre Lösung \( Q_{P}(t) \) dieser Differentialgleichung zu bestimmen d.h. benutzen Sie den Ansatz \( Q_{P}(t)=A e^{i \omega t} \) wobei \( A \) eine komplexe Zahl ist. Bestimmen Sie die Amplitude \( |A| \) und die Phase \( \phi \) der komplexen Amplitude \( A=|A| e^{i \phi} \) als Funktion von \( U_{0}, R, C \) und \( L \).

---

Aha. Es ist also nicht U_C(t) gegeben, so wie es ganz oben steht, sondern U(t). Das verändert die Sache grundlegend. Ich gebe dir in einer ruhigen Minute Antwort, wenn mir niemand zuvorkommt.

Answer 1

Hallo a0k. Wir stellen die Maschengleichung des Stromkreises auf und erhalten:

Da wir für Q einen komplexen Ansatz wählen, muss auch die rechte Seite der Gleichung komplex geschrieben werden. Wie lautet dann die Gleichung?

Comments

Hi, in einem Video zur Wechselspannung und komplexen Zahlen fand ich heraus, dass es angenehmer ist mit denen zu arbeiten weil man Phasenverschiebungen nicht so gut mit den trig. Formeln beschreiben kann.

Sprichwort, Addition innerhalb der Potenz ist Multiplikation der Basis.

Was ich damit ausdrücken möchte ist, dass sich:

$$ U_0 \cos({\omega t } )$$ umschreiben lässt zu

$$U_0 e^{i \omega t}$$

Ich würde nun im folgenden versuchen die DGL zu lösen bzw. das wäre mein nächster Ansatz.

---

Das ist die perfekte Antwort! Also ersetze U_0 * cos(omega t) und setze für Q(t) überall den in der Aufgabe gegebenen Ansatz ein. Wie lautet die Gleichung dann?

---

Mit dem Ansatz$$A e^{i \omega t}$$  und dem ersetzen von U_0 erhalte ich folgende Gleichung.

$$A i^2\omega^2 e^{i \omega t}+ A\frac{R}{L}i\omega e^{i \omega t}+ A\frac{1}{CL}e^{i \omega t}= U_0 e^{i \omega t} $$

Ich hatte mir gedacht dann umzustellen und nach A aufzulösen usw.

Aber ich fande das Endresultat eigenartig bzw nicht zufriedenstellend.

Mann könnte zb -U_0 abziehen, dann kann man die e Terme rausstreichen weil diese nie 0 werden und im folgenden wieder addieren auf der anderen Seite. Finde ich aber dämlich und ziemlich untypisch. Dann blieben zwar nur noch die anderen Variablen und man könnte das A auf der linken Seite vorher Rausziehen und dann am Ende U_0 durch die ganzen anderen Terme rechnen aber es schien mir nicht das richtige zu sein.

So zb.

$$A (i^2\omega^2+ \frac{R}{L}i\omega + \frac{1}{CL}=U_0$$

$$A=\frac{U_0}{ (i^2\omega^2+ \frac{R}{L}i\omega + \frac{1}{CL})}$$

Selbst wenn ich weiter an den Betrag denke, habe ich unter der Wurzel das Quadrat zu rechnen.

---

Fast korrekt. Das „L“ im Nenner ist falsch. Da müsste ich deinen ganzen Lösungsweg sehen. Geh von meinem Ansatz aus, nicht von deinem. Und i^2 musst du noch berechnen.

Jetzt kannst du |A| und Phi berechnen. Was kommt da raus?

Bin dann morgen wieder online.

---

Ach, ich glaube ich sehe es, ich hab doch unten nur eine Summe aber auch Doppelbrüche. Ich glaube wegen der Klammer habe ich die Brüche hochgezogen.

Ich hab auf Papier mal versucht den Betrag zu berechnen, ich probier es gleich mal aus mit dem Hinweis.

Ich bin morgens früh Ausnahmsweise schon um 6 Uhr wach. Ich kann dannach versuchen meine Rechnung abzutippen.

Falls ich wach bleibe. Für mich persönlich ist es nicht schlimm, wenn ich ab dem Aufgabenteil c) nicht einreiche aber nach 12 Uhr würde ich dannach weiter arbeiten. Es geht um die Methoden der Aufgaben für mich zu erkennen, ich werde garantiert noch einige DGLs mit komplexen Lösungen begegnen.

Damit dir ein Dankeschön und schönen Abend noch.

---

Achja bezüglich deinem Ansatz, in dem Aufgabenteil a) sollte man Anhand der Skizze die DGL herleiten die ich oben habe, diese ist auch zum "prüfen" in der Aufgabe gestellt, also gehe ich davon aus, dass es schon in Ordnung ist.

Text erkannt:

---

Sobald du deine Rechnung hochgeladen hast, korrigiere ich sie dir. - Der Ansatz d^2 Q(t) / dt^2 … ist korrekt. Aber das sind keine Spannungen, die hier addiert werden. Ich finde meinen Ansatz aus der Maschengleichung besser. Beide Ansätze sind äquivalent.

---

Das Bild ist nun Quer, arbeite vom Handy aus aktuell, da ich bis zum späten Abend beschäftigt bin.

---

Hier ist dein Fehler passiert: Du hast die linke Seite durch L geteilt, die rechte Seite aber nicht.

---

Bei dieser Umrechnung sind gleich mehrere Fehler reingekommen.

---

Ich schau mal, dass ich heute Abends mich da dran setze, ich geb eine Rückmeldung.

---

Hier habe ich nochmals versucht den ersten Fehler auszugleichen.

---

Die erste Gleichung ist korrekt, die zweite ist falsch. Mit welchem Faktor hast du denn den Bruch erweitert?

---

Mit keinem, wenn ich ehrlich bin.

---

Durch welche Umformung kommst du denn dann von der ersten zur zweiten Gleichung?

---

Ich hab doch überall ein A als Vorfaktor, den zog ich heraus und klammerte, da vor der Klammer eine Multiplikation stattfand teilte ich durch die Klammer. Ich habe bis dato keinen Bruch erweitert.

---

Das ist ja auch alles korrekt. Meine Frage war, wie du von der ersten Gleichung im letzten Bild zur zweiten Gleichung im letzten Bild kommst.

---

Stört dich das +c im Zähler ?

---

Erstens ist dies falsch, und zweitens der Nenner auch.
Vielleicht wolltest du den Bruch mit C erweitern. Weißt du, wie das richtig geht?

---

Ne eigentlich nicht, ich hab lediglich durch die Klammer geteilt die durch das Ausklammern von der Variable A entstanden ist. Auf der anderen Seite der Gleichung ist ja U_0/L

---

Das, was du beschreibst, sind die Umrechnungen von Gleichung II zu Gleichung III sowie von Gl. III zu Gl. IV. Diese Umrechnungen sind korrekt. Was falsch ist, ist die Umrechnung von Gl. IV zu Gl. V. Bitte korrigieren. Ist dir hier etwas unklar?

---

Ich sehe meinen Fehler nicht.

---

Okay. Durch welche Umformung kommst du von Gl. IV auf Gl. V? Was hast du da gemacht?

---

Ich habe doch ein L aus der Spule vor der Klammer und dieses L wird doch rein multipliziert?

---

Aber L * (1/(CL) ergibt 1/C ! Und nicht 1 !

---

Ja und weil es ein Doppelbruch ist, zog ich den Nenner hoch.

Ich war nur sehr uneingestimmt ob dort eine Multiplikation oder Addition vorkommt.

Auch durch den Kommentar von dir frage ich mich ob das bei Summen auch erlaubt ist.

---

„Den Nenner hochziehen“ gibt’s nicht. Erweitere den Bruch IV bitte mit C. Weißt du, wie man einen Bruch erweitert?

Deine Gleichung IV ist auch falsch.

(„Den Nenner des Unterbruchs hochziehen“ kannst du nur machen, wenn der Nenner des Hauptbruches keine Summe ist. Aber das nur am Rande.) 

---

U_0*c/(i^2 w^2 LC+RCiw+1)

?

---

Jetzt gut gemacht!

"A = " fehlt.  Jetzt ist dein A korrekt. Jetzt kannst du |A| berechnen.

---

Wenn ich den Betrag berechne kriege ich einen ellenlangen Nenner. Möchte ich nur so angemerkt haben.

Wie sollte ich dann die Phase bestimmen, ist ja immer der Tan^-1 (RE/IM)

---

Betrag: Dann stimmt was nicht. Zeig mal bitte.

Phase: Falsch. Es muss heißen, IM/RE. Du musst dafür A in Real- und Imaginärteil zerlegen.

---

A= U_0*c/(i2 w2 LC+RCiw+1)

Der Betrag von A berechnet sich doch durch die Wurzel des Quadrats von A.

Ergo den Bruch als Quadrat auffassen und da der Nenner aus 3 Summen besteht entsteht nunmal ein Nenner mit einigen Summen.

So bin ich vorgegangen, ich bin genau jetzt nicht am Schreibtisch zuhause und kann daher meine Rechnung nicht reinschicken.

---

Leider falsch. Der Betrag des Bruches ist der Betrag des Zählers dividiert durch den Betrag des Nenners. Der Zähler ist reell. Der Nenner ist komplex. Wie berechne ich den Betrag einer komplexen Zahl a + i b ? Was ist der Betrag von 2 + 3i ?

---

Moment, ich wollt erst komplex konjugieren, dies ist aber Division.

Der Betrag von 2+3i ist sqrt(4+9)

---

Richtig. Jetzt kannst du, wenn du wieder Zeit hast, |A| berechnen.

---

Ich hätte nun für den Betrag von

$$A=\frac{\sqrt{U_0^2C^2}}{\sqrt{i^4 \omega^4L^2C^2+R^2C^2i^2 \omega^2 +1}} $$

i^2 und i^4 sind ja =-1

Also würde sich dies doch noch folgendes Ergeben:

$$A=\frac{\sqrt{U_0^2C^2}}{\sqrt{\omega^4L^2C^2+R^2C^2 \omega^2 +1}}$$

Ne wobei, das i wurd im obigen Beispiel auch nicht beachtet. Wurde bearbeitet.

---

Den Zähler kannst du vereinfachen. Die linke Seite der Gleichung ist falsch. Bevor du irgendwas berechnest, musst du das i^2 in der Gleichung

berechnen. Wenn du den Betrag des Nenners nimmst, musst du den Nenner in Real- und Imaginärteil aufspalten. Was ist der Realteil des Nenners?

---

Der realteil dürfte doch -w^2 CL+1 sein, denn übrig bleibt ja nur noch + i wCR

---

Das ist korrekt. Jetzt musst du sqrt(Re^2 + Im^2) bilden!

---

$$\sqrt{(1-2 \omega^2 LC + \omega^4 L^2 C^2) + R^2 C^2 i^2 \omega^2) }$$

Der Betrag ist a^2 +b^2

aber wenn ich doch als reellen Teil einen Klammer Term habe mit Variablen mit einer +1.

Dann denke ich an Binomische Formel.

---

Das ist falsch. Was ist der Betrag von a + b * i ?

---

Habe meinen letzten Kommentar bearbeitet.

---

Falsch. Der Betrag von a + b * i ist wurzel(a^2 + b^2).

Du hast aber unter der Wurzel noch das i stehen. Das ist falsch.

Die binomische Formel hast du korrekt angewendet. Was aber nicht nötig gewesen wäre.

---

$$ \sqrt{1-2 \omega^2 LC + \omega^4 L^2 C^2 + R^2 C^2 \omega^2}$$

---

Jetzt ist der Ausdruck korrekt. Und was ist |A| ?

---

$$|A|= \frac{U_0C}{\sqrt{1-2 \omega^2 LC + \omega^4 L^2 C^2+ R^2 C^2 \omega^2}}$$

---

$$|A|= \frac{U_0C}{\sqrt{1-2 \omega^2 LC + \omega^4 L^2 C^2+ R^2 C^2 \omega^2}}$$

---

Ja, super! Jetzt kannst du Φ berechnen.  

---

$$\phi= \frac{i \omega C R}{1-\omega^2 C L}$$

---

Leider nein. Ein Winkel kann nicht komplex sein. Ich bin morgen wieder online. LG Roman

---

Wir könnten diesen letzten Teil der Aufgabe auch gerne im Privat-Chat lösen, wenn du willst. blappert de.

---

Ich hab über ein halbes Jahr kein Physik oder Mathe wirklich gemacht, mich wundert es gar nicht und habe vor wieder in Physik 3 zu starten. Ich wüsste nicht, dass es hier einen privaten Chat gibt.

---

Du bist aber schon weit gekommen bei dieser Aufgabe, und wirst den Rest auch noch hinbekommen. Du kannst das hier lösen, oder du schreibst mir eine E-Mail. Leider leider gibt es in MatheLounge und NanoLounge keinen Privatchat. Schreib mir bei Interesse eine E-Mail. Meine Homepage ist blappert de.