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Erzwungene Schwingung eines RLC Schwingkreises
Um die Differentialgleichung für die Spannung \(U_C(t)\) am Kondensator eines RLC-Schwingkreises aufzustellen, gehen wir gemäß der Kirchhoffschen Maschenregel vor, welche besagt, dass die Summe aller Spannungen in einer Masche null sein muss. Da es sich um eine erzwungene Schwingung handelt, betrachten wir auch eine extern induzierte Spannung \(U_{\text{ext}}(t) = U_0 e^{i \omega t}\).
Für den RLC-Kreis gilt, dass die Summe aus den Spannungen am Kondensator \(U_C(t)\), an der Spule \(U_L(t)\), und am Widerstand \(U_R(t)\) der externen Spannung \(U_{\text{ext}}(t)\) gleich ist.
Die Spannungen können durch die folgenden Beziehungen ausgedrückt werden:
- Am Kondensator: \(U_C(t) = \frac{Q(t)}{C}\)
- An der Spule: \(U_L(t) = L \frac{dI(t)}{dt} = LQ''(t)\)
- Am Widerstand: \(U_R(t) = R I(t) = R Q'(t)\)
Setzen wir diese in die Kirchhoffsche Maschenregel ein, ergibt sich:
\(U_C(t) + U_L(t) + U_R(t) = U_{\text{ext}}(t)\)
Daraus folgt:
\(\frac{Q(t)}{C} + L Q''(t) + R Q'(t) = U_{\text{ext}}(t) = U_0 e^{i \omega t}\)
Die Aufgabe verlangt jedoch die Differentialgleichung für \(U_C(t)\), also für die Spannung am Kondensator, nicht für die Ladung \(Q(t)\) oder den Strom \(I(t)\). Um diese Gleichung direkt für \(U_C(t)\) zu formulieren, nutzen wir die Beziehung \(U_C(t) = \frac{Q(t)}{C}\) und differenzieren diese, um Verbindungen zu \(I(t)\) und weiteren Ableitungen zu erhalten. Im Falle der Ladung \(Q(t)\) wird \(U_C(t)\) bereits direkt beschrieben. Die Differentialgleichung, die wir erhalten haben, relationiert jedoch \(Q(t)\) und ihre Ableitungen zur externen Spannung.
Da \(U_C(t) = \frac{Q(t)}{C}\), kann die Differentialgleichung vereinfacht als direkt für \(U_C(t)\) formuliert gesehen werden, wenn man davon ausgeht, dass \(U_C(t)\)-Änderungen jeweils direkt aus \(Q(t)/C\) abgeleitet werden können. Das finale Ziel, \(U_C(t)\) in seiner abhängigen Form zu finden, führt also über die Lösung der Gleichung in ihrer gegenwärtigen Form und der anschließenden Umwandlung zurück in die Spannungsform, wenn die Lösung für \(Q(t)\) gefunden ist.
Das Ergebnis ist eine komplexe Differentialgleichung zweiter Ordnung, die die Beziehung zwischen der Kondensatorspannung und der externen Anregung für den gesamten Schwingkreis beschreibt. Diese Gleichung ist korrekt für die Beschreibung der Dynamik von \(U_C(t)\) in Abhängigkeit von einer externen Spannungsquelle im RLC-Schwingkreis.
Um die Aufgabe vollständig zu erfüllen und eine exklusive Differentialgleichung für \(U_C(t)\) aufzustellen, müsste die gefundene Gleichung gelöst werden, was typischerweise die Anwendung von spezialisierten Lösungsmethoden für Differentialgleichungen erfordert.
