Volumenstrom bestimmen, Rechnung richtig?

Question

Aufgabe:

Durch ein horizontal verlaufendes Rohr mit ungleichen Querschnitten A₁ = 2*10^-3m² und A₂ = 1*10^-3m² strömt Wasser mit der Geschwindigkeit v₁ bzw. v₂. Es ist der Volumenstrom durch das Rohr zu ermitteln, wenn die beiden Schenkel der Flüssigkeitsmanometer eine Höhendifferenz von △h=0,2 m zeigen.

Problem/Ansatz:

Ich habe damit angefangen die Bernoulli-Gleichung aufzustellen. Diese lautet:

$$p_1+\frac{\rho}{2}v_1^2=p_2+\frac{\rho}{2}v_2^2$$

und umgestellt...

$$p_1-p_2=\frac{\rho}{2}v_2^2-\frac{\rho}{2}v_1^2=\Delta p$$

$$\frac{\rho}{2}v_2^2-\frac{\rho}{2}v_1^2 = \rho gh$$

$$\frac{v_2^2}{2}-\frac{v_1^2}{2}=gh$$

$$v_2=\sqrt{2gh}+v_1$$

Dann mit der Kontinuitätsgleichung das Verhältnis zwischen den Geschwindigkeiten ermittelt:

$$v_1*A_1=v_2*A_2$$

$$\frac{v_1}{v_2}=\frac{A_2}{A_1} = 0.5$$

bedeutet, v₁ ist halb so groß wie v₂: v₁ = v; v₂ = 2v

$$\rightarrow v_2=\sqrt{2gh}+v_1$$

$$2v=\sqrt{2gh}+v$$

$$v=\sqrt{2gh}$$

$$\rightarrow v_1=v=\sqrt{2gh}$$

Für den Volumenstrom ergibt sich damit:

$$\dot{V}=v_1*A_1 ≈ 0.004\frac{m^3}{s}$$

Ich wollte einmal fragen, ob das ganze richtig ist.

Answer 1

Ich wollte einmal fragen, ob das ganze richtig ist.

Nein, denn v₂ = √(2 * g * h) + v₁ ist falsch, weil:

v₂² / 2 - v₁² / 2 = g * h

v₂² - v₁² = 2 * g * h

v₂² = 2 * g * h + v₁²

v₂ = √ (2 * g * h + v₁²)

Z.B.: √(9 + 2²) ≠ √9 + 2, aber √(9 * 2²) = √9 * 2

Deine Rechnung ist ansonsten grundsätzlich richtig.

Übrigens, zu welchem Ergebnis bist du denn bei der Puck-Aufgabe gekommen?

Comments

Hmm, also ich weiß mittlerweile, dass für v₁ ≈ 1.98 m/s rauskommt. Mit Glück bin ich trotz meines Fehlers auf genau den gleichen Wert gekommen. Versuche ich das ganze jedoch mit der anderen Formel, so komme ich immer auf:

$$v_2^2=2gh+v_1^2$$

$$(2v)^2=2gh+(v)^2$$

$$4v^2=2gh+v^2$$

$$3v^2=2gh$$

$$v=\sqrt{\frac{2gh}{3}}≈1.14 m/s$$

Wegen der Puck-Aufgabe: Hat geklappt, Danke nochmal!

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... ich weiß mittlerweile, dass für v1 ≈ 1.98 m/s rauskommt

Wie sieht denn die Rechnung dazu aus? Wieso wird als "Musterlösung" v₁ angegeben, wenn nach dem Volumenstrom gefragt wurde?

Mit Glück bin ich trotz meines Fehlers auf genau den gleichen Wert gekommen.

Dann hat wahrscheinlich derjenige, der zu diesem Ergebnis gekommen ist, genauso falsch gerechnet, wie du zuvor.

Ich komme auch auf v₁ ≈ 1,14 m/s und einen Volumenstrom von ca. 2,29 * 10^-3 m³/s.

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Stimmt, war gestern dann wohl doch schon zu spät..

Als Formel habe ich folgendes gefunden:

$$v_1=\sqrt{\frac{2a^2\Delta p}{\rho(A^2-a^2)}}$$

wobei a der kleinere Querschnitt ist.

Zur Kontrolle komme ich bei der Gleichung jetzt auch auf das selbe Ergebnis, keine Ahnung was ich da gestern gemacht habe...

Danke!