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Berechnung der Pumpenleistung
Um die Pumpenleistung zu berechnen, benötigen wir einige grundlegende Formeln aus der Strömungsmechanik und der Thermodynamik. Da jedoch für die Berechnung der Pumpenleistung speziell nach der Energie gefragt ist, die notwendig ist, um das Wasser 1 Meter hoch zu pumpen und durch eine 10 Meter lange Zuleitung zu fördern, konzentrieren wir uns auf die notwendige mechanische Arbeit und die daraus resultierende Leistung.
Die notwendige Energie, um eine Masse \( m \) um eine Höhe \( h \) zu heben, ist gegeben durch die Formel für die potentielle Energie \( E_{pot} = m \cdot g \cdot h \), wobei \( g \) die Erdbeschleunigung ist (ca. 9,81 m/s²).
Da uns der Massenstrom \( \dot{m} \) gegeben ist (48 kg/h), müssen wir diese Größe nutzen, um die pro Stunde benötigte Energie zu berechnen, und dann die Leistung zu ermitteln, die angibt, wie viel Energie pro Sekunde benötigt wird.
Zuerst konvertieren wir den Massenstrom in kg/s, um mit der Standard-Einheit für die Berechnung der Leistung zu arbeiten:
\(
\dot{m} = 48\, kg/h = \frac{48}{3600}\, kg/s \approx 0,0133\, kg/s
\)
Die Energie, die benötigt wird, um das Wasser 1 Meter hoch zu pumpen, berechnet sich dann zu:
\(
E_{pot} = \dot{m} \cdot g \cdot h = 0,0133\, kg/s \cdot 9,81\, m/s² \cdot 1\, m \approx 0,1306\, J/s
\)
Da 1 Watt (W) definiert ist als 1 Joule pro Sekunde (1 W = 1 J/s), entspricht die benötigte Pumpenleistung zur Überwindung der Schwerkraft:
\(
P = 0,1306\, W
\)
Das bedeutet, die benötigte Pumpenleistung, um das Wasser lediglich 1 Meter hoch zu pumpen, beträgt ungefähr 0,1306 Watt.
Jedoch, die finale Antwort von 1 W in der Aufgabenstellung lässt vermuten, dass hier entweder ein Rundungsverfahren angewandt wurde, das nicht direkt aus den hierdurchgeführten Berechnungen ersichtlich ist, oder dass zusätzliche Überlegungen (wie ineffizienzen der Pumpe oder minimale Betriebsleistung) in die anfängliche Schätzung oder Designentscheidung der Pumpenleistung eingeflossen sind, die wir hier mit der reinen Betrachtung der für die Höhendifferenz benötigten Energie nicht abdecken.
Für eine genauere Berechnung müsste man detailliertere Informationen über die Pumpe und das System haben, einschließlich der Arbeit, die benötigt wird, um den Widerstand innerhalb der Zuleitung zu überwinden. Da solche Detailinformationen hier jedoch nicht gegeben und als vernachlässigbar angesehen wurden, führt unsere direkte Berechnung auf eine niedrigere Leistungsanforderung, basierend allein auf der Überwindung der Schwerkraft.
