Berechnen und zeichnen Sie die Stromlinien

Question

Aufgabe:

Das zweidimensionale Strömungsfeld einer Plattenströmung ist mit den Geschwindigkeitskomponenten u = a·x und v = -a·y beschrieben ( a ist eine positive Konstante).

a) Es sollen die Stromlinien des Strömungsfeldes berechnet und gezeichnet werden.

Für eine Stromlinie gilt dx/u = dy/v das heißt man macht Trennung der Variable und integriert das ganze und kommt auf ln(xy)=C d.h. y=$e^{c}$/x und man muss jetzt die Funktion darstellen. In dem Buch steht Bild1 als Musterlösung und ich verstehe nicht, warum nicht Bild 2? wenn x negativ wäre, ist y auch negativ oder?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Berechnung der Stromlinien

Um die Stromlinien des gegebenen Geschwindigkeitsfeldes $u = ax$ und $v = -ay$ zu ermitteln, verwenden wir die gegebene Bedingung für Stromlinien $\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v}$.

Eingesetzt mit unseren Geschwindigkeitskomponenten erhalten wir:
$\frac{dx}{ax} = \frac{dy}{-ay}$

Da $a$ eine Konstante und positiv ist, kann sie beim Integrieren auf beiden Seiten weggelassen werden:
$\frac{dx}{x} = -\frac{dy}{y}$

Wir integrieren auf beiden Seiten um die Beziehung zwischen $x$ und $y$ zu erhalten:
$\int \frac{1}{x}dx = - \int \frac{1}{y}dy$

Dies ergibt:
$\ln|x| = -\ln|y| + C$

Oder zusammengefasst:
$\ln|x| + \ln|y| = C'$
$\ln|x \cdot y| = C'$

Das bedeutet, $|x \cdot y| = e^{C'}$. Dabei ist $C'$ eine neue Konstante, die aus der Integration resultiert. Wenn wir $C'$ als $\ln(K)$ setzen, wo $K$ eine positive Konstante ist, erhalten wir:
$|x \cdot y| = K$

Darstellung der Stromlinien

Diese Gleichung $|x \cdot y| = K$ liefert die Gleichungen der Stromlinien. Für verschiedene Werte von $K$, erhält man unterschiedliche Hyperbeln, die die Stromlinien im Strömungsfeld repräsentieren.

Zur Frage bezüglich der Vorzeichen von $x$ und $y$: Wenn $x$ negativ ist, muss $y$ auch negativ sein, damit ihr Produkt $x \cdot y$ positiv wird, was mit $|x \cdot y| = K$ übereinstimmt, da $K$ positiv ist.

Warum Bild 1 statt Bild 2?

Ohne die Bilder direkt sehen zu können, basiert die Entscheidung auf den charakteristischen Eigenschaften der berechneten Gleichungen für die Stromlinien. Da $|x \cdot y| = K$ Hyperbeln in allen vier Quadranten beschreibt, ist es möglich, dass Bild 1 diese vollständige Darstellung der verschiedenen Quadrate, durch die Hyperbeln gehen, korrekt wiedergibt, während Bild 2 möglicherweise nur einen Teil oder eine inkorrekte Darstellung zeigt.

Das entscheidende Detail hier ist, dass die Stromlinien für jede Kombination positiver und negativer Werte von $x$ und $y$ existieren, vorausgesetzt ihr Produkt $x \cdot y$ ist konstant ($K$). Die Realität einer Plattenströmung, in welcher diese Bedingungen herrschen, würde also in jedem Quadranten Hyperbeln als Stromlinien zeigen.