Berechnen und zeichnen Sie die Stromlinien

Question

Aufgabe:

Das zweidimensionale Strömungsfeld einer Plattenströmung ist mit den Geschwindigkeitskomponenten u = a·x und v = -a·y beschrieben ( a ist eine positive Konstante).

a) Es sollen die Stromlinien des Strömungsfeldes berechnet und gezeichnet werden.

Für eine Stromlinie gilt dx/u = dy/v das heißt man macht Trennung der Variable und integriert das ganze und kommt auf ln(xy)=C d.h. y=\( e^{c} \)/x und man muss jetzt die Funktion darstellen. In dem Buch steht Bild1 als Musterlösung und ich verstehe nicht, warum nicht Bild 2? wenn x negativ wäre, ist y auch negativ oder?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Berechnung der Stromlinien

Um die Stromlinien des gegebenen Geschwindigkeitsfeldes \(u = ax \) und \(v = -ay \) zu ermitteln, verwenden wir die gegebene Bedingung für Stromlinien \( \frac{dx}{u} = \frac{dy}{v} \).

Eingesetzt mit unseren Geschwindigkeitskomponenten erhalten wir:
\( \frac{dx}{ax} = \frac{dy}{-ay} \)

Da \( a \) eine Konstante und positiv ist, kann sie beim Integrieren auf beiden Seiten weggelassen werden:
\( \frac{dx}{x} = -\frac{dy}{y} \)

Wir integrieren auf beiden Seiten um die Beziehung zwischen \(x\) und \(y\) zu erhalten:
\( \int \frac{1}{x}dx = - \int \frac{1}{y}dy \)

Dies ergibt:
\( \ln|x| = -\ln|y| + C \)

Oder zusammengefasst:
\( \ln|x| + \ln|y| = C' \)
\( \ln|x \cdot y| = C' \)

Das bedeutet, \( |x \cdot y| = e^{C'} \). Dabei ist \( C' \) eine neue Konstante, die aus der Integration resultiert. Wenn wir \( C' \) als \( \ln(K) \) setzen, wo \( K \) eine positive Konstante ist, erhalten wir:
\( |x \cdot y| = K \)

Darstellung der Stromlinien

Diese Gleichung \( |x \cdot y| = K \) liefert die Gleichungen der Stromlinien. Für verschiedene Werte von \( K \), erhält man unterschiedliche Hyperbeln, die die Stromlinien im Strömungsfeld repräsentieren.

Zur Frage bezüglich der Vorzeichen von \(x\) und \(y\): Wenn \(x\) negativ ist, muss \(y\) auch negativ sein, damit ihr Produkt \(x \cdot y\) positiv wird, was mit \(|x \cdot y| = K\) übereinstimmt, da \(K\) positiv ist.

Warum Bild 1 statt Bild 2?

Ohne die Bilder direkt sehen zu können, basiert die Entscheidung auf den charakteristischen Eigenschaften der berechneten Gleichungen für die Stromlinien. Da \( |x \cdot y| = K \) Hyperbeln in allen vier Quadranten beschreibt, ist es möglich, dass Bild 1 diese vollständige Darstellung der verschiedenen Quadrate, durch die Hyperbeln gehen, korrekt wiedergibt, während Bild 2 möglicherweise nur einen Teil oder eine inkorrekte Darstellung zeigt.

Das entscheidende Detail hier ist, dass die Stromlinien für jede Kombination positiver und negativer Werte von \(x\) und \(y\) existieren, vorausgesetzt ihr Produkt \(x \cdot y\) ist konstant (\(K\)). Die Realität einer Plattenströmung, in welcher diese Bedingungen herrschen, würde also in jedem Quadranten Hyperbeln als Stromlinien zeigen.