Wie groß sind die Verluste an mechanischer Energie zwischen den beiden Messstellen?

Question

Aufgabe:

Es wird eine Wasserkraftanlage betrachtet, die im Turbinenbetrieb zur Stromerzeugung und im Pumpbetrieb zum Hochpumpen von Wasser für spätere Spitzenstromerzeugung eingesetzt werden kann. Von zwei Messstellen sind Daten in folgender Tabelle eingetragen. Der angegebene Druck ist als Überdruck angegeben.

Der Volumenstrom beträgt V= 60m³/ s . Folgende Fragen sind zu beantworten:

a) Wie groß sind die Verluste an mechanischer Energie zwischen den beiden Messstellen, ausgedrückt in Druckverlust Δp_v und in Druckhöhenverlust Δh_v= Δp_v/ρg?

b) Zwischen den Punkten 2 und 3 treten Reibungsverluste mit einem ξ-Wert von 3,0 bezogen auf die Geschwindigkeit an der Messstelle 2, die im gesamten Rohrabschnitt zwischen 2 und 3 herrscht. Wie groß ist die Turbinen- oder Pumpleistung an der Welle, wenn der Maschinenwirkungsgrad η_p = 90% beträgt. Die Größe η_p ist definiert als das Verhältnis von Zuwachs an mechanischer Leistung im Fluid im Maschinenaustritt gegenüber der Leistung im Maschinenaustritt P_h zu der an der Welle zugeführten Leistung P_w.

Druck(bar):

p₁= 9 Überdruck p₂= 48 Überdruck p₃ = 1

Durchmesser (m):

d₁= 4,4     d₂= 3,5   d₃=Seeoberfläche rechts

Höher über Meeresspiegel (m):

h₁= 2200     h₂=1830         h₃= 1900

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

a) Verluste an mechanischer Energie zwischen den beiden Messstellen

Um die Verluste an mechanischer Energie zwischen den Messstellen in Druckverlust \(Δp_v\) und in Druckhöhenverlust \(Δh_v = \frac{Δp_v}{ρg}\) auszudrücken, nutzen wir die vorhandenen Daten und die Bernoulli-Gleichung für strömende Fluide. Da jedoch in der Aufgabenstellung keine spezifische Situation (zwischen welchen Punkten die Verluste berechnet werden sollen) definiert ist, und auch keine ausreichenden Informationen zum direkten Vergleich zwischen den Punkten gegeben sind, insbesondere fehlt der absolute Druck und die Geschwindigkeiten an den spezifischen Punkten, nehmen wir eine allgemeine Berechnungsmethode vor.

Um Druckverluste zu berechnen, müssen typischerweise zusätzliche Informationen wie Geschwindigkeiten an den Messstellen oder die spezifische Anwendung (z.B. Reynoldszahl, Rohrmaterial und -länge) bekannt sein. Ohne diese Details kann der Druckverlust \(Δp_v\) und der Druckhöhenverlust \(Δh_v\) nicht direkt berechnet werden.

Jedoch, würde man die allgemeine Idee folgen, um \(Δp_v\) und \(Δh_v\) zu bestimmen, könnten folgende Formeln nützlich sein, vorausgesetzt man hätte die nötigen Daten:

1. Druckverlust \(Δp_v\) kann über verschiedene Methoden bestimmt werden, zum Beispiel mit der Darcy-Weisbach-Gleichung oder über den ξ-Wert für bestimmte Bauteile.
2. Druckhöhenverlust \(Δh_v\) ist der Verlust an potenzieller Energie pro Gewichtseinheit des Wassers, und kann durch \(\frac{Δp_v}{ρg}\) berechnet werden, wobei \(ρ\) die Dichte des Wassers und \(g\) die Erdbeschleunigung ist.

b) Turbinen- oder Pumpleistung an der Welle

Für die Berechnung der Leistung betrachten wir die gegebenen Bedingungen zwischen den Punkten 2 und 3, einschließlich des ξ-Wertes von 3,0 und des Wirkungsgrades von \(η_p = 90%\).

Die Leistung \(P\) in Watt, die ein Fluidstrom produzieren oder benötigen kann, wird durch die Gleichung \(P = ρgQh_{eff}\) bestimmt, wobei \(Q\) der Volumenstrom, \(h_{eff}\) die effektive Fall- oder Steighöhe und \(ρ\) die Dichte des Wassers ist.

Für \(h_{eff}\) würde man normalerweise eine detaillierte Analyse inklusive der Reibungsverluste und Pumpeffizienz durchführen. Nehmen wir hier an, dass \(h_{eff}\) mittels der gegebenen Daten und des ξ-Wertes berechnet werden kann, wäre der Ansatz:

1. Berechnen der Geschwindigkeit am Punkt 2 mittels \(v_2 = \frac{Q}{A_2}\), wobei \(A_2 = \frac{πd_2^2}{4}\). Dies wäre der erste Schritt, um die kinetische Energie und daraus resultierende Reibungsverluste zu berechnen.
2. Unter Nutzung des ξ-Wertes und der Geschwindigkeit an Punkt 2 könnte man den Energieverlust aufgrund von Reibung bestimmen.
3. Die Leistung am Punkt 3 \(P_h\) könnte anschließend mit der effektiven Höhe und dem Volumenstrom berechnet werden.
4. Mit \(P_w = \frac{P_h}{η_p}\) findet man die Leistung an der Welle.

Ohne explizite Geschwindigkeits- oder Höhendaten kann der obige Prozess leider nicht konkret durchgeführt werden. Man benötigt mehr Informationen über die Fluidgeschwindigkeiten an den Punkten und den absoluten Druck, um \(Δp_v\), \(Δh_v\), und somit auch die exakten Leistungswerte zu berechnen.