Volumenstrom und Zeit bei einem See bestimmen?

Question

Aufgabe:

Ein großer See ist durch einen Überströmkanal mit einem Reservoir und durch ein Leitungssystem mit einem tiefer gelegenen See verbunden (s. Skizze).

Um über den möglichen Einbau einer Wasserkraftanlage entscheiden zu können, sollen zunächst

a) der gesamte Volumenstrom, der bei geöffnetem Überströmkanal (Schieber oben) in den unteren See fließt sowie

b) die maximal mögliche Leistungsentnahme (ideale, theoretische Bedingungen, vollständige Umwandlung der Höhenenergie in Druckenergie) bestimmt werden.

c) die Ausflusszeit ermittelt werden, bis zu der das Reservoir – bei geschlossenem Überströmkanal (Schieber unten) – leer gelaufen ist. (Hinweis: überlegen Sie zunächst, bis zu welcher Höhe das Reservoir leer laufen kann, wenn der Schieber geschlossen ist.)

Hinweis: Die Höhenunterschiede in den horizontal verlaufenden Leitungen und die Wandreibungen sind zu vernachlässigen.

Gegeben: ρ_Wasser, g, h=2m, l=6m, A=3 m², Oberfläche Reservoir: 1000 m²

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Volumenstrom und Zeit bei einem See bestimmen

Um die Fragen a), b) und c) zu beantworten, gehen wir schrittweise vor und nutzen die gegebenen Werte sowie grundlegende physikalische Zusammenhänge.

Gegebene Daten:
- Dichte von Wasser: $\rho_{Wasser}$
- Erdbeschleunigung: $g$
- Höhe: $h = 2m$
- Länge: $l = 6m$
- Querschnittsfläche des Überströmkanals: $A = 3 \text{ m}^2$
- Oberfläche des Reservoirs: $1000 \text{ m}^2$
- Hinweis: Wir vernachlässigen die Höhenunterschiede in den horizontal verlaufenden Leitungen und die Wandreibungen.

a) Gesamter Volumenstrom

Der Volumenstrom $\dot{V}$, der bei geöffnetem Überströmkanal in den unteren See fließt, kann unter Annahme idealer Bedingungen mithilfe der Torricelli-Gleichung bestimmt werden:

$\dot{V} = A \cdot v = A \cdot \sqrt{2gh}$

wobei
- $A$ die Querschnittsfläche des Überströmkanals ist,
- $v$ die Ausflussgeschwindigkeit aus dem Überströmkanal,
- $g$ die Erdbeschleunigung,
- $h$ die Höhendifferenz zwischen dem Wasserspiegel im Reservoir und dem Auslass des Überströmkanals.

Einsetzen der gegebenen Werte:

$\dot{V} = 3 \text{ m}^2 \cdot \sqrt{2 \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 2 \text{ m}} = 3 \text{ m}^2 \cdot \sqrt{39,24 \text{ m}^2/\text{s}^2} = 3 \text{ m}^2 \cdot 6,26 \text{ m/s} \approx 18,78 \text{ m}^3/\text{s}$

b) Maximale Leistungsentnahme

Die maximale Leistung $P$, die theoretisch aus der vollständigen Umwandlung der potenziellen Energie des Wassers in kinetische Energie gewonnen werden könnte, ergibt sich aus der Formel:

$P = \dot{m} \cdot g \cdot h$

wobei
- $\dot{m} = \dot{V} \cdot \rho_{Wasser}$ die Massenstromrate ist,
- $g$ die Erdbeschleunigung und
- $h$ die Höhendifferenz.

Da $\dot{V} \approx 18,78 \text{ m}^3/\text{s}$ und unter Einbeziehung von $\rho_{Wasser} = 1000 \text{ kg/m}^3$ (angenommener Wert für die Dichte von Wasser):

$\dot{m} = 18,78 \text{ m}^3/\text{s} \cdot 1000 \text{ kg/m}^3 = 18780 \text{ kg/s}$

Einsetzen in die Leistungsformel:

$P = 18780 \text{ kg/s} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 2 \text{ m} = 368172,6 \text{ W} \approx 368 \text{ kW}$

c) Ausflusszeit bis zur Leerung des Reservoirs

Die Zeit $t$, die benötigt wird, um das Reservoir zu leeren, ergibt sich aus dem Volumen des Reservoirs geteilt durch den Volumenstrom $\dot{V}$.

Da das Reservoir jedoch nicht komplett leer laufen wird (wegen der Angabe mit dem geschlossenen Überströmkanal), müssen wir dies beachten. Für die Berechnung der Zeit bis zur Leerung nehmen wir an, dass das Reservoir bis auf die Höhe des Auslasses leerläuft. Das bedeutet, wir betrachten das Volumen, das tatsächlich ausfließen kann.

Das Volumen $V_{Reservoir}$ des Reservoirs, das leerlaufen kann, wäre das Gesamtvolumen oberhalb des Auslasses. Wegen fehlender direkter Angaben über die Tiefe des Reservoirs oder bis zu welcher Höhe es leerlaufen kann mit geschlossenem Schieber, gehen wir davon aus, es lässt sich nicht direkt berechnen und überspringen diesen Teil der Berechnung.

In einer realen Anwendung müsste man die Höhe des Wasserpegels kennen, auf die das Wasser absinken kann, bevor der Ausfluss stoppt, um das ausfließbare Volumen und somit die Zeit bis zum Leerlauf zu berechnen.