Antwort mit KI erzeugt
Lösungsschritte:
Die grundlegende Formel, die gegeben ist, lautet \(f(v) = 0,3 \cdot v^3\), wobei \(f(v)\) die Leistung in Kilowatt (KW) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit \(v\) in Meter pro Sekunde (m/s) darstellt.
Zunächst müssen wir den Wirkungsgrad berücksichtigen. Der Wirkungsgrad gibt das Verhältnis von Nutzleistung zu aufgewendeter Gesamtleistung an. Ein Wirkungsgrad von \(0,6\) oder \(60\%\) bedeutet, dass von der gesamten aufgewendeten Energie lediglich \(60\%\) effektiv genutzt werden, während \(40\%\) verloren gehen.
Um die tatsächlich benötigte Leistung zu finden, müssen wir daher die Nutzleistung (die in der Aufgabenstellung gegebenen \(2,5\) KW) durch den Wirkungsgrad teilen. Somit berechnen wir die aufzuwendende Gesamtleistung:
\(P_{gesamt} = \frac{P_{nutz}}{\eta}\)
wobei \(P_{nutz} = 2,5\) KW ist und \(\eta = 0,6\). Das einsetzend erhalten wir:
\(P_{gesamt} = \frac{2,5}{0,6} = \frac{25}{6} \approx 4,167 \, \text{KW}\)
Nun haben wir die aufzuwendende Gesamtleistung, die für die Berechnung der Geschwindigkeit \(v\) unter Berücksichtigung des Wirkungsgrads benötigt wird.
Als Nächstes setzten wir die Gesamtleistung in die gegebene Leistungsformel ein:
\(0,3 \cdot v^3 = P_{gesamt}\)
wobei \(P_{gesamt} = 4,167\) KW. Wir lösen diese Gleichung nach \(v\) auf:
\(0,3 \cdot v^3 = 4,167\)
Um \(v^3\) zu isolieren, teilen wir beide Seiten durch \(0,3\):
\(v^3 = \frac{4,167}{0,3} = 13,89\)
Nun ziehen wir die dritte Wurzel (\(\sqrt[3]{\cdot}\)) aus beiden Seiten, um \(v\) zu erhalten:
\(v = \sqrt[3]{13,89} \approx 2,4 \, \text{m/s}\)
Fazit:
Die Geschwindigkeit \(v\), bei der eine Leistung von \(2,5\) KW unter Berücksichtigung eines Wirkungsgrads von \(0,6\) (60%) erzielt wird, beträgt ungefähr \(2,4\) Meter pro Sekunde (\(\text{m/s}\)).
