Aufgabe:
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2. Aufgabe: Erzwungene Schwingungen (5 Punkte)
Betrachten Sie ein System mit Potential \( V(x, t)=\frac{1}{2} k x^{2}-x F(t) \), wobei \( \mathrm{F} \) zunächst eine beliebige, zeitabhängige Kraft sein soll.
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf. Setzen Sie dabei \( \omega^{2}:=\frac{k}{m} \). Um was für ein System handelt es sich hier?
b) Zeigen Sie nun, dass die Bewegungsgleichung aus a) äquivalent ist zur Differentialgleichung 1. Ordnung
\( \dot{u}(t)-i \omega u(t)=\frac{1}{m} F(t) \)
mit \( u:=\dot{x}+i \omega x \).
c) Lösen Sie die Differentialgleichung aus b) auf dem Intervall \( [0, \infty) \) in dem Sie zunächst die homogene Differentialgleichung lösen (d.h. \( F(t)=0 \) ) und anschließend über das Ihnen aus der Vorlesung bekannte Verfahren der Variation der Konstanten eine partikuläre Lösung suchen. Kontrollergebnis: \( u(t)=e^{i \omega t}\left(\int \limits_{0}^{t} \frac{1}{m} F(\tilde{t}) e^{-i \omega \tilde{t}} d \tilde{t}+C\right) \) mit einer komplexen Zahl \( C \)
d) Zum Zeitpunkt \( t=0 \) soll \( x=\dot{x}=0 \) sein. Ist die Energie hier erhalten? Stellen Sie die Energie des Systems zur Zeit \( t>0 \) auf. Benutzen Sie hierbei ihre Lösung aus c). Tipp: \( |u|^{2}=\dot{x}^{2}+\omega^{2} x^{2} \)
e) Bestimmen Sie für den Fall, dass die Kraft \( F(t) \) nur während des Zeitintervalls \( 0 \leq t \leq t_{1} \) von Null verschieden ist, die gesamte auf den Oszillator übertragene Energie. Hierbei soll \( t_{1} \ll 1 / \omega \) sein, nähern Sie damit die (komplexe) Exponentialfunktion bis zur nullten Ordnung. Wie lässt sich das Ergebnis verstehen?
Problem/Ansatz:
Aufgaben a bis c konnten ohne Probleme gelöst werden. Für d) allerdings werden die sollen die Anfangsbedingungen für x verwendet werden, mir fällt allerdings kein Ansatz ein die Funktion die nach u(t) gegeben wird in eine for x(t) zu bringen. Muss das dafür überhaupt geschehen oder kann ich u(t) beibehalten?
