Zeigen Sie, dass F1 ein Gradientenfeld ist und bestimmen Sie ein Potential zu F1.

Question

Hallo, 

ich habe die folgende aufgabe, die ich nicht hinbekomme und ich hoffe ihr könnt mir helfen:

 

Hier noch einmal als Latex...

$$Fp(x,y,z)\quad =\quad (pyz+2x,xz-2y,xy)^{ T }$$

die Aufgabe hat noch einen zweiten Teil: 

zeigen, dass Fp nur fur p = 1 ein Gradientenfeld ist.

mfg, danke im vorraus

Answer 1

Hallo,

berechne die Rotation des Vektorfeldes. Ist diese =0 , so handelt es sich um ein Gradientenfeld.

Die Bestimmungsgleichung  für das Potential φ lautet grad(φ)=F1. Dies ergibt 3 Differentialgleichungen. 

Eine dieser Gleichungen lautet z.B 

∂φ/∂x=F1_x , also die x-Komponente des Vektorfeldes rechts stehend.

Integrieren gibt

φ= 

(Stammfunktion von F1_x bezüglich x)+ C(y,z)

Bestimme dann mithilfe der anderen beiden Gleichungen den Term C(y,z)

Comments

alles klar leichter gesagt als getan xD... aber danke ich glaub das erste geht mit nabla und der zweite teil ist einfach integrieren und die integrationskonstante C irgendwie bestimmen, muss aber noch lernen wie das genau geht... ich schreibe meine lösungen spätestens morgen hier rein... hoffe du korrigierst sie dann :) die aufgabe hat aber noch b und c teil :/

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Ja so ähnlich ;).

Vorhin konnte ich leider keine Rechnungen anfügen, daher habe ich nur grob den Weg skizziert.

zum Gradientenfeld:

Rotation berechnet sich gemäß

https://de.wikipedia.org/wiki/Rotation_eines_Vektorfeldes#Definition_der_Rotation_in_kartesischen_Koordinaten

Das gibt bei uns (für p=1)

$$ \begin{pmatrix} x-x\\y-y\\z-z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} $$,

passt also.

Zum Potential:

Die 3 entstehenden Gleichungen lauten:

$$ \frac { \partial\varphi }{ \partial x }=yz+2x\\\frac { \partial\varphi }{ \partial y }=xz-2y\\\frac { \partial\varphi }{ \partial z }=xy\\$$

man nimmt z.B die erste Gleichung zur Hand und integriert:

$$ \varphi(x,y,z) =yzx+x^2 +C(y,z) $$

Diese Teillösung setzt man nun in die zweite DGl links ein, um den y-Anteil der Konstante C(y,z)

zu bestimmen:

$$ \frac { \partial\varphi }{ \partial y }= xz-2y\\zx+C_{y}(y,z)=xz-2y\\C_{y}(y,z)=-2y\\C(y,z)=-y^2+D(z)\\\to \varphi (x,y,z)= yzx+x^2-y^2+D(z)\\$$

Nun geht man denselben Weg, um D(z) zu bestimmen, mithilfe der dritten DGL.

Glücklicherweise erfüllt unsere Teillösung diese DGL bereits, daher ist D(z)=D eine echte Konstante.

Lösung:

$$  \varphi (x,y,z)= yzx+x^2-y^2+D\\$$