Aufgabe:
Ein Potential sei in Zylinderkoordinaten gegeben, \( U(\vec{r})=U(\rho, \varphi, z) \).
(a) Stellen Sie den Gradienten von \( U \) in der Zylinderkoordinatenbasis \( \left(\vec{e}_{\rho}, \vec{e}_{\varphi}, \vec{e}_{z}\right) \) dar, wobei die Koeffizienten durch die partiellen Ableitungen \( \partial U / \partial_{\rho}, \partial U / \partial_{\varphi} \) und \( \partial U / \partial_{z} \) auszudrücken sind. Der Zusammenhang zwischen der Zylinderkoordinatenbasis und den kartesischen Basisvektoren \( \left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) \) ist aus der Vorlesung bekannt, siehe im Skript.
(b) Zeigen Sie, dass bei der Bewegung in diesem Potential Folgendes gilt: Wenn \( \partial U / \partial z= \) 0 ist, so ist die 3 -Komponente des Impulses eine Erhaltungsgröße, \( d p_{3} / d t=0 ; \) wenn \( \partial U / \partial \varphi=0 \) ist, so ist die 3 -Komponente des Drehimpulses eine Erhaltungsgröße, \( d L_{3} / d t=0 \)
Problem/Ansatz: Bei solchen Aufgaben, wo man teilweise mit Gegenbeispielen Aussagen zeigen / widerlegen kann, scheiter ich immer. Ideen für Lösungen oder Beispiele wären toll.
Mfg
Richard
