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Analyse des Lösungsweges zur Berechnung des Potentials:
Beginnen wir mit der Überprüfung des gegebenen Feldes \( V \) und des Lösungsweges. Das vektorielle Feld \( V \) ist gegeben durch:
\( V=
\begin{matrix}
2xy+2z \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) \\
x^{2} + z \\
y + \sin^{2}(x)
\end{matrix}
\)
Und hier die Überprüfung jedes Schrittes:
1.
Berechnung des Potentials \( f(x, y, z) \) aus \( \frac{df}{dx} \)
Zuerst wird das Potential \( f \) bezüglich \( x \) integriert.
\( \frac{df}{dx} = 2xy + 2z \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) = 2xy + z \cdot \sin(2x) \)
Die richtige Integration bezüglich \( x \) ist:
\( f(x,y,z) = \int (2xy + z \cdot \sin(2x)) \, dx + g(y,z) = x^{2}y - \frac{1}{2}z \cdot \cos(2x) + g(y,z) \)
Bis hier ist der Lösungsweg korrekt.
2.
Ableitung von \( f \) bezüglich \( y \) und Bestimmung von \( g(y,z) \)
\( \frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + \frac{\partial }{\partial y}g(y,z) \equiv x^{2} + z \)
\( \frac{\partial }{\partial y}g(y,z) = z \)
\( g(y,z) = zy + h(z) \)
Auch dieser Schritt ist korrekt.
3.
Ableitung von \( f \) bezüglich \( z \) und Bestimmung von \( h(z) \)
\( \frac{\partial f}{\partial z} = -\frac{1}{2} \cdot \cos(2x) + y + \frac{\partial}{\partial z}h(z) \)
An diesem Punkt wurde ein Fehler begangen.
\( -\frac{1}{2} \cdot \cos(2x) + y + \frac{\partial }{\partial z}h(z) \equiv y + \sin^{2}(x) \)
Es gibt jedoch eine inkorrekte Umformung:
\( \frac{\partial }{\partial z}h(z) = \frac{1}{2}(\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x)) = \frac{1}{2} \)
In der Folgeleitung scheint ein Missverständnis bezüglich der Identität \(\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1\) vorzuliegen. Die Identität ist unabhängig von \( z \), was bedeutet, dass
\( \frac{\partial }{\partial z}h(z) = \sin^{2}(x) - \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) + y \)
So nicht logisch folgt, denn \( \sin^{2}(x) \) und \( \cos(2x) \) hängen nicht von \( z \) ab, es wird hier fälschlicherweise versucht, diese Terme in der Funktion von \( h(z) \) einzufügen. Korrekt wäre:
\( \frac{\partial }{\partial z} h(z) = y \)
Da aber zuvor bereits eine Funktion von \( y \) und \( z \) in \( g(y, z) \) eingearbeitet wurde und dies den Term \( y \) schon abdecken sollte, deutet der Schritt auf eine grundlegende Fehlinterpretation oder einen Fehler im Prozess der Differentialrechnung bzw. der Logik in Bezug auf die Abhängigkeiten zwischen den Funktionen und ihren Variablen hin.
Zusammenfassend gibt es einen Fehler im Verständnis bzw. in der Anwendung der Ableitungen und der Identitäten trigonometrischer Funktionen im letzten Schritt. Der richtige Ansatz wäre stattdessen, \( h(z) \) entweder als Konstante (wenn \( h \) nur von \( z \) abhängt und das Feld \( V \) ein korrektes Potentialfeld darstellt) oder durch direktes Integrieren bezüglich \( z \), ohne Einbeziehung von \( x \)-abhängigen Termen, zu bestimmen.
