Aus Potential die Bewegungsgleichung ermitteln

Question

Aufgabe:

Ein Teilchen mit Masse m bewegt sich im Potential

$$U(x)= \frac{-U_0}{cosh^2(\frac{x}{x_0} )}$$ , wobei U₀ > 0, x₀ > 0

a) Beschreiben Sie die Bewegungen des Teilchens jeweils für positive und negative Gesamtenergie und fertigen Sie eine Skizze an.

b) Lösen Sie die Bewegungsgleichung des Teilchens für E_ges = 0 und beliebige x(t = 0) = x₁.

c) Zwei Teilchen mit identischer Masse und gleicher Energie E_ges >U₀ starten an der Stelle ?x₁ in Richtung x₁. Das erste Teilchen bewegt sich im Potential U(x). Das zweite Teilchen erfährt keine Kraft. Nach welcher Zeit legen die beiden Teilchen die Strecke von? x₁ bis x₁ zurück? Wie groß ist der Laufzeitunterschied für x₁ ?


Ansatz:

Für die a)

Habe ich mir überlegt zunächst aus der Gleichung E_ges=U+T die Geschwindigkeit $$\dot{x}$$ zu berechnen als auch x_max. Natürlich aus den Bedingungen, dass

E= U+T mit $$\dot{x}=0$$ folgt E=U

E= U+T mit $$x=0$$ folgt E=T

Danach wollte ich ein Phasenportrait bzgl $$x$$ und $$ \dot{x}$$ anfertigen.

Deswegen lautet meine frage zur a) ob diese Herangehensweise korrekt ist und was genau mit positiver und negativer Gesamtenergie gemeint ist, ob man da jetzt nur einen Vorzeichenwechsel vor nehmen sollte oder nicht.

Zur b)

Nun da habe ich mir überlegen, ob man E = T+U mit $$T=\frac{1}{2}m\dot{x^2}$$ nach $$ \dot{x}$$ aufzulösen. Da diese eine DGL ist die sich mit Separation der Variablen lösen lässt und nach der Aufgabenstellung E=0 ist, kam ich auf folgendes Ergebnis

$$t=\pm \int_a^b \! \sqrt{\frac{-2U}{m} } \, dx $$ mit $$U(x)= \frac{-U_0}{cosh^2(\frac{x}{x_0} )}$$

Zur c) hab ich leider noch keinen Ansatz

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

a) Bewegungen des Teilchens für positive und negative Gesamtenergie

Die Beschreibung der Bewegung eines Teilchens in einem gegebenen Potential hängt von der Gesamtenergie des Teilchens ab. Die Gesamtenergie \(E_{ges}\) eines Teilchens setzt sich aus seiner kinetischen Energie \(T\) und seiner potentiellen Energie \(U(x)\) zusammen:

\( E_{ges} = T + U \)

Die kinetische Energie ist immer positiv, während die potentielle Energie in diesem Fall durch das gegebene Potential \(U(x) = \frac{-U_0}{\cosh^2(\frac{x}{x_0})}\) gegeben ist. Hier sind \(U_0 > 0\) und \(x_0 > 0\). Da \(U(x)\) immer negativ oder null ist (weil \(U_0 > 0\) und der Nenner immer positiv ist), bedeutet dies, dass das Potential eine Art Grube oder Tal darstellt.

- Für \(E_{ges} > 0\): Das Teilchen hat genug kinetische Energie, um sich unendlich weit vom Potentialminimum zu entfernen. Es kann komplett aus dem "Topf" entkommen. Das bedeutet, es handelt sich um eine ungebundene Bewegung, bei der das Teilchen sowohl positive als auch negative \(x\)-Werte annehmen kann, während es sich von dem Potentialminimum entfernt.

- Für \(E_{ges} < 0\): Das Teilchen hat nicht genug kinetische Energie, um das Potential zu verlassen. Seine Bewegung ist auf einen bestimmten Bereich um das Potentialminimum herum beschränkt. Das bedeutet, es handelt sich um eine gebundene Bewegung, bei der das Teilchen zwischen zwei Punkten \(x_1\) und \(x_2\) oszilliert, wo \(U(x_1) = U(x_2) = E_{ges}\).

- Für \(E_{ges} = 0\): Dies ist ein Grenzfall, bei dem das Teilchen gerade genug Energie hat, um das Potential zu verlassen, aber asymptotisch gegen unendlich zur Ruhe kommt.

b) Bewegungsgleichung des Teilchens für \(E_{ges} = 0\)

Mit \(E_{ges} = T + U = 0\) und \(T = \frac{1}{2}m\dot{x}^2\), folgt:

\( 0 = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{-U_0}{\cosh^2(\frac{x}{x_0})} \)

Daraus ergibt sich:
\( \frac{1}{2}m\dot{x}^2 = \frac{U_0}{\cosh^2(\frac{x}{x_0})} \)

Um \(\dot{x}\) zu finden, lösen wir die obige Gleichung nach \(\dot{x}\):

\( \dot{x} = \pm \sqrt{\frac{2U_0}{m\cosh^2(\frac{x}{x_0})}} \)

Diese Differentialgleichung kann durch Trennung der Variablen und Integration gelöst werden, um \(x(t)\) zu finden:

\( dt = \pm \frac{dx}{\sqrt{\frac{2U_0}{m\cosh^2(\frac{x}{x_0})}}} \)

Der oben genannte Integralausdruck gibt die Zeit \(t\) als Funktion des Ortes \(x\) an. Die Lösung dieses Integrals erfordert spezielle Funktionen und ist nicht direkt durch elementare Funktionen ausdrückbar.

c) Laufzeitunterschied der Teilchen

Für das Teilchen, das im Potential \(U(x)\) reist, benötigen wir die genaue Lösung der Bewegungsgleichung, um die Zeit zu berechnen, die das Teilchen benötigt, um von \(x_1\) zu \(x_2\) zu gelangen. Für das Teilchen ohne Kraft (\(U(x) = 0\)) ist die Bewegung gleichförmig, und die Zeit kann direkt berechnet werden, sofern die Anfangsgeschwindigkeit bekannt ist, welche von der Gesamtenergie abhängt.

Ohne explizite Anfangsbedingungen und ohne eine spezifische Lösung der Bewegungsgleichung für das Teilchen im Potential können wir den Laufzeitunterschied nicht exakt berechnen. Generell hängt der Laufzeitunterschied von den spezifischen Werten von \(E_{ges}\), \(U_0\), \(x_0\), und \(x_1\) ab.