Konstante Geschwindigkeit und Strecke berechnen

Question

Aufgabe:

Filmstunt

Für einen Actionfilm soll folgende Szene gedreht werden: Ein schwerer, führerloser Truck fährt mit blockiertem Gaspedal und konstanter Geschwindigkeit auf einer geraden Strecke von hinten auf den Motorradhelden zu. Damit die Szene möglichst spannend wird, soll der Truck das hintere Nummernschild des Motorrades gerade eben berühren, bevor der Held entkommt. Der Beinahezusammenstoß soll dort stattfinden, wo die Kamera postiert ist.

Zur Planung des Stunts wird der von dem startenden Motorrad nach t Sekunden zurückgelegten Weg s in Metern gemessen:

s	t
0	0
37,5	5
150	10
337,5	15
600	20

Die Kamera befindet sich 150m in Fahrrichtung entfernt vom Startplatz des Motorrades.

Untersuchen Sie, wie schnell der Truck fahren muss und in welchem Abstand zum Truck das Motorrad starten muss, damit der Stunt gelingt.

Problem:

Für die Geschwindigkeit müsste man v=s:t rechnen aber ich weiß nicht welche Strecke und Zeit der Truck fährt.. Kann jemand behilflich sein??

Answer 1

Hallo :-)

der Bewegungsablauf des Motorrads ist aus deiner Tabelle bekannt.

Der Beinahezusammenstoß soll dort stattfinden, wo die Kamera postiert ist.

Nach $t=10s$ hat das Motorrad eine Strecke von $S(10s)=150m$ zurückgelegt.

Jetzt sucht man die Geschwindigkeit vom Truck, bzw. die vom Motorrad an diesem Ort.

Dafür stellst du mal die Ortsfunktion $S$ auf. Das Motorrad beschleunigt, sodass die Ortsfunktion zunächst $S(t)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ lautet. Die zugehörige Geschwindigkeitsfunktion ist dann $S'(t)=v(t)=a\cdot t$. Die Beschleunigung $a$ erhältst du zb aus dem Messpunkt $(5s,37.5m)$. Eingesetzt hast du also:

$$37.5m=S(5s)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 25s^2$$

und das ergibt $a=3\frac{m}{s^2}$.

Ein schwerer, führerloser Truck fährt mit blockiertem Gaspedal und konstanter Geschwindigkeit

Der Truck fährt also mit konstanter Geschwindigkeit $v_{Truck}=const.$. Die muss aber gerade so groß sein, um das Motorrad genau bei der Kamera zu erwischen. Es gilt also:

$$v_{Truck}=v(10s)=a\cdot 10s=3\frac{m}{s^2}\cdot 10s=30\frac{m}{s}.$$

Jetzt wird nur noch der Startpunkt des Trucks gesucht.

Dieser hat aufgrund seiner gleichmörmig-unbeschleunigten Bewegung diese Ortsfunktion $S_{Truck}(t)=v_{Truck}\cdot t+b=30\frac{m}{s}\cdot t+b$, wobei du jetzt noch $b$ suchst.

Das kannst du jetzt schon aus dem Vorhandenen ermitteln. Nach $t=10s$ befindet sich der Truck ja auch an der Kamera, also $S_{Truck}(10s)=S(10s)=150m$ vom Startpunkt des Motorrads entfernt. Das ergibt eingesetzt:

$$150m=S_{Truck}(10s)=30\frac{m}{s}\cdot 10s+b$$

also $b=-150m$.

Also muss der Truck in $150m$ Entfernung vom Motorrad mit einer Geschwindigkeit von $30\frac{m}{s}$ losfahren.

Comments

Ich hab alles verstanden aber wieso muss man 37,5m und 5s benutzen? Das hab ich nicht ganz verstanden..

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Lies den Satz genau. Ich habe dort gesagt, dass du beispielsweise diese beiden Werte nutzen kannst. Ich hätte auch das Wertepaar $(15s,337.5m)$ benutzen können.

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Ahh okay. Man braucht ja eine Zeit und eine Strecke damit man die Beschleunigung berechnen kann. Ich hab da noch eine Frage.. Woher weiß man dass es eine gleichförmige unbeschleunigte Bewegung ist? Und wie kamst du auf die Gleichung mit b am Ende?

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Dass es eine gleichförmig beschleunigte Bewegung ist, habe ich schonmal vorweg genommen. Das kannst du aber selber leicht nachprüfen, indem du für jedes angebene Wertepaar mal die Beschleunigung ausrechnest. Es wird immer $3\frac{m}{s^2}$ herauskommen. Es ist zumindest eine Plausiblitätsüberprüfung, da ja theoretisch zwischen den Zeitabschnitten die Beschleunigung etwas größer oder kleiner gewesen sein könnte. Aber das wird bei solchen Bewegungsaufgaben vernachlässigt und im Zweifel bildet man zb den Durchschnitt der errechneten Beschleunigungen. Messfehler sind im Alltag so gut wie immer vorhanden und hier ist mal ein idealer Prozess gegeben, wo Störfaktoren, wie zb Bodenunebenheiten ausgenommen sind.

Das $b$ kann man sich so erschließen. Normalerweise rechnet man gerne die Strecke mit der dir bekannten Formel $s=v\cdot t$ aus. Die ist aber nur dann anwendbar, wenn die Anfangsstecke zum Zeitpunkt $t=0s$ auch $0m$ beträgt. Das weiß man hier aber im Allgemeinen noch nicht, sodass sich der Truck aber aufjeden Fall zum Zeitpunkt $t=0s$ in einer bestimmten Entfernung $b$ zum Motorrad befindet. Daher lautet hier der Ansatz $s=v\cdot t +b$.