Differentialgleichung(Kondensator, Widerstand) lösen

Question

Aufgabe:

C steht für den Kondensator

R ist ohmscher Widerstand

U_c ist Kondensatorspannung

U ist außen angelegt

$$R*C*\frac{d_Uc}{dt} + U_C = U$$

a)

1) U = const

2) AWP U_c(0) = 0

b) dasselbe für die Werte:

R= 1000Ω; C= 10µF

Problem/Ansatz:

a) 1)$$R*C*\frac{d_Uc}{dt} + U_C = U$$

$$R*C*\frac{d_Uc}{dt} + U_C = 0$$

U_h = K*e^{(-1/RC) *t}

Up = U; U'p = 0

R*C*0+ U_p = U

U_p = U

U = Uh + Up = K*e^{(-1/RC) *t} + U

2) U_c(0) = 0 <=> K*e⁰ + U = 0 <=> K+ U = 0 => K= -U

Randbedingung eingesetzt in U(t) : U(t) = -U*e^(-1/RC)*t + U

b) R= 1000Ω; C= 10µF= 1*10^-5 F

1000Ω* 1*10-5F * \( \frac{d_Uc}{dt} \) + U_c = 400 V (da ist auch mit U_c wie in a) die Spannung des Kondensators gemeint, keine separate Einheit)

0,01s * U'_c + U_c = 400V

Uh = K*e^{(-1/0,01[s])*t}  

Up = 400 V   U'p = 0

0,01s*0 + 400V = 400 V

400 V = 400 V [komme da leider nicht weiter bzw. verstehe nicht wie man daraus ableitet Up= 400 V

[a = 400V

U_p = 400V]

Answer 1

Aloha :)

Die Differentialgleichung kann ich anhand des Schaubildes nachvollziehen:$$\left.U_R+U_C=U\quad\right|U_R=R\cdot I$$$$\left.R\cdot I+U_C=U\quad\right|I=\dot Q=\frac{d}{dt}(CU_C)=C\cdot \dot U_C$$$$\left.RC\cdot\dot U_C+U_C=U\quad\right.$$Wir erkennen sofort die spezielle Lösung \(U_C=U\) der inhomogenen DGL. Dazu müssen wir noch die Lösung der homogenen DGL addieren:

$$\left.RC\cdot\dot U_C+U_C=0\quad\right|\colon U_C$$$$\left.RC\cdot\frac{\dot U_C}{U_C}+1=0\quad\right|-1$$$$\left.RC\cdot\frac{\dot U_C}{U_C}=-1\quad\right|\cdot\frac{1}{RC}$$$$\left.\frac{\dot U_C}{U_C}=-\frac{1}{RC}\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.\ln U_C=-\frac{t}{RC}+\text{const}\quad\right|e^{\cdots}$$$$\left.U_C=e^{-t/RC+\text{const}}=e^{-t/RC}\cdot e^{\text{const}}\quad\right.$$Wir nennen die Konstante \(e^{\text{const}}\) noch in \(c_0\) um und addieren die spezielle Lösung \(U_C=U\) von oben dazu, um die allgemeine Lösung der DGL angeben zu können:$$U_C(t)=U+c_0\cdot e^{-\frac{t}{RC}}$$

Die Konstante \(c_0\) folgt aus der Anfangsbedingung \(U_C(0)=0\):$$0\stackrel!=U_C(0)=U+c_0\implies c_0=-U$$Damit haben wir die Gesamtlösung des AWP:$$U_C(t)=U-U\cdot e^{-\frac{t}{RC}}=U\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)$$

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort :)

Habe ich eigentlich b) auch richtig?