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Modellierung des Wärmeübergangs auf den Sensor
Um den Wärmeübergang auf einen Temperatursensor, speziell hier einen Pt100, zu modellieren, gehen wir von den gegebenen thermodynamischen Beziehungen aus. Zunächst formulieren wir das Fourier'sche Gesetz und die Beziehung zwischen der Temperatur des Widerstands und dem Wärmestrom in eine einzige Differentialgleichung 1. Ordnung um.
Gegeben sind:
- Wärmeleitfähigkeit \( \lambda = 71 \, \text{W/mK} \)
- Spezifische Wärmekapazität \( c_{p,R} = 130 \, \text{J/kgK} \)
- Oberfläche \( A = 28,717 \, \text{mm}^2 \) (entspricht \(28,717 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\) in SI-Einheiten)
- Radius \( r = 0,625 \, \text{mm} \) (entspricht \(0,625 \times 10^{-3} \, \text{m}\) in SI-Einheiten)
Die Wärmeübertragung folgt dem Gesetz:
\( q(t) = \lambda \cdot \frac{A}{r} \cdot (\vartheta_{u}(t) - \vartheta_{R}(t)) \)
Die Beziehung zwischen dem Wärmestrom und der Temperaturänderung des Widerstandsmaterials ist gegeben durch:
\( \frac{1}{c_{p,R}} \int q(t) dt = \vartheta_{R}(t) \)
Um eine Differentialgleichung (DGL) 1. Ordnung für \(\vartheta_{R}(t)\) zu erhalten, differenzieren wir beide Seiten der Gleichung bezüglich der Zeit:
\( \frac{d\vartheta_{R}(t)}{dt} = \frac{1}{c_{p,R}} \cdot q(t) \)
Mit Einsetzen von \(q(t)\) aus dem Fourier'schen Gesetz ergibt sich:
\( \frac{d\vartheta_{R}(t)}{dt} = \frac{1}{c_{p,R}} \cdot \lambda \cdot \frac{A}{r} \cdot (\vartheta_{u}(t) - \vartheta_{R}(t)) \)
Dies vereinfacht zu der gesuchten DGL 1. Ordnung für \(\vartheta_{R}(t)\):
\( \frac{d\vartheta_{R}(t)}{dt} = -k \cdot (\vartheta_{R}(t) - \vartheta_{u}(t)) \)
mit \( k = \frac{\lambda \cdot A}{r \cdot c_{p,R}} \).
Parameterwerte:
\(
k = \frac{71 \, \text{W/mK} \cdot 28,717 \times 10^{-6} \, \text{m}^2}{0,625 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot 130 \, \text{J/kgK}}
\)
Analyse für PT1-System:
Ein PT1-System ist beschrieben durch die Differentialgleichung:
\( \frac{d\vartheta_{R}(t)}{dt} + k\vartheta_{R}(t) = k\vartheta_{u}(t) \)
Sprungantwort:
Für eine Sprungantwort setzen wir \(\vartheta_{u}(t) = \Theta_{u}\) für \(t \geq 0\), wobei \(\Theta_{u}\) die Sprunghöhe ist. Die Lösung für die Sprungantwort lautet:
\( \vartheta_{R}(t) = \Theta_{u} + (\vartheta_{R}(0) - \Theta_{u}) \cdot e^{-kt} \)
Impulsantwort:
Die Impulsantwort ergibt sich als die erste Derivative der Sprungantwort bezüglich der Zeit, was zu \(k \cdot e^{-kt}\) führt.
Konsequenzen für die industrielle Praxis:
Diese Modellanalyse zeigt, dass die Reaktionszeit des Pt100-Sensors von der Materialkonstante \(k\) bestimmt wird, welche wiederum von den Material- und Abmessungseigenschaften abhängt. Eine höhere Wärmeleitfähigkeit \( \lambda \) und eine größere Oberfläche \( A \) können die Reaktionszeit verbessern, während ein größerer Radius \( r \) und eine höhere spezifische Wärmekapazität \( c_{p,R} \) diese verlangsamen. Da in der Industrie oft schnelle und präzise Temperaturmessungen erforderlich sind, muss bei der Auswahl des Sensors neben der Genauigkeit auch die dynamische Antwort betrachtet werden.
