Wärmeübergang Umgebungstemperatur auf Sensor Differentialgleichung

Question

Aufgabe:

d) Wähle auf Basis eigener Recherche einen industriell verfügbaren Temperatursensor aus, der sich bestmöglich für eine Messung bei der Temperatur bzw. dem Temperaturbereich aus Aufgabenteil a) eignet. Begründe deine Auswahl mit der Information aus den Datenblättern. Modelliere den Wärmeübergang auf den Sensor aus der Umgebungsluft mithilfe einer Differentialgleichung 1. Ordnung und stelle das zeitliche Verhalten des Sensorsystems auf Basis der Sprungantwort und Impulsantwort eines PT1-Systems für jeweils ein selbst gewähltes Szenario dar. Diskutiere, welche Konsequenzen sich für die Messung in der industriellen Praxis hieraus ergeben.

Hinweise zur Thermodynamik: Der Widerstand kann als perfekter Zylinder angenommen werden. Von Interesse ist die Temperatur in seinem Kern. Der Wärmestrom \( q(t) \) ist nach dem Fourier'schen Gesetz definiert als:
\( q(t)=\lambda \cdot \frac{A}{r} \cdot\left(\vartheta_{u}(t)-\vartheta_{R}(t)\right) \)

Hierbei bezeichnen \( \vartheta_{u}(t) \) die Umgebungstemperatur, \( \vartheta_{R}(t) \) die Kerntemperatur des Widerstands, \( A \) seine Außenfläche, \( r \) seinen Radius und \( \lambda \) die materialabhängige Wärmeleitfähigkeit.

Die Temperatur des Widerstands sowie der Wärmestrom hängen wie folgt zusammen:
\( \frac{1}{c_{p, R}} \int q(t) d t=\vartheta_{R}(t) \)

\( c_{p, R} \) ist die spezifische Wärmekapazität und hängt vom Material des Widerstands ab.

Die beiden Gleichungen können zu einer DGL 1. Ordnung für \( \vartheta_{R}(t) \) kombiniert werden.

Gewählt Pt100: A=28,717mm^2,r=0,625mm, h=11,7mm lambda=71W/mK, Cp,r=130 J/kgK

Problem/Ansatz:
Wie kann ich hier meine Zeit abhängigen Formeln überhaupt erstmal bestimmen? Und wie soll ich da eine Differentialgleichung drausformen? An für sich hab ich mir mal die Newtonsche Abkühlungsgleichung zur Hand (T(t)=U0+(T0−U0)⋅e^−kt)) genommen. Komm ich damit überhaupt weiter? Stehe total auf dem Schlauch.. Freue mich über jeden Ansatz den ich bekommen kann! Ich hoffe das alles verständlich ist :D

gewählt: pt100: lambda=71W/mK, cp,r=130J/kgK, A= 28,716mm^2, r=0,625mm, h=11,7mm

Problemstellung:

Ich weiß nicht so ganz wie ich anfangen soll... Mein erster Lösungsansatz war über das Newtonsche Abkühlungsgesetz (T(t)=U0+(T0−U0)exp(−k(t−t0))) erstmal überhaupt eine zeitabhängige Funktion für die Kerntemperatur zu finden. Aber irgendwie scheint mir das alles nicht zu passen, außerdem weiß ich nicht wie ich von da weiter machen soll... Außerdem verstehe ich nicht in wie fern die Umgebungstemperatur zeitabhängig ist, also klar sie ist nicht konstant, aber abhängig von t?! Als zweites wollte ich die zweite Gleichung nach q(t) umstellen um das für q(t) einsetzen zu können, aber da stehe ich genauso vor dem Problem, dass ich nicht mal weiß wie ich überhaupt eine zeitabhängige Funktion aufstelle.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Modellierung des Wärmeübergangs auf den Sensor

Um den Wärmeübergang auf einen Temperatursensor, speziell hier einen Pt100, zu modellieren, gehen wir von den gegebenen thermodynamischen Beziehungen aus. Zunächst formulieren wir das Fourier'sche Gesetz und die Beziehung zwischen der Temperatur des Widerstands und dem Wärmestrom in eine einzige Differentialgleichung 1. Ordnung um.

Gegeben sind:
- Wärmeleitfähigkeit \( \lambda = 71 \, \text{W/mK} \)
- Spezifische Wärmekapazität \( c_{p,R} = 130 \, \text{J/kgK} \)
- Oberfläche \( A = 28,717 \, \text{mm}^2 \) (entspricht \(28,717 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\) in SI-Einheiten)
- Radius \( r = 0,625 \, \text{mm} \) (entspricht \(0,625 \times 10^{-3} \, \text{m}\) in SI-Einheiten)

Die Wärmeübertragung folgt dem Gesetz:

\( q(t) = \lambda \cdot \frac{A}{r} \cdot (\vartheta_{u}(t) - \vartheta_{R}(t)) \)

Die Beziehung zwischen dem Wärmestrom und der Temperaturänderung des Widerstandsmaterials ist gegeben durch:

\( \frac{1}{c_{p,R}} \int q(t) dt = \vartheta_{R}(t) \)

Um eine Differentialgleichung (DGL) 1. Ordnung für \(\vartheta_{R}(t)\) zu erhalten, differenzieren wir beide Seiten der Gleichung bezüglich der Zeit:

\( \frac{d\vartheta_{R}(t)}{dt} = \frac{1}{c_{p,R}} \cdot q(t) \)

Mit Einsetzen von \(q(t)\) aus dem Fourier'schen Gesetz ergibt sich:

\( \frac{d\vartheta_{R}(t)}{dt} = \frac{1}{c_{p,R}} \cdot \lambda \cdot \frac{A}{r} \cdot (\vartheta_{u}(t) - \vartheta_{R}(t)) \)

Dies vereinfacht zu der gesuchten DGL 1. Ordnung für \(\vartheta_{R}(t)\):

\( \frac{d\vartheta_{R}(t)}{dt} = -k \cdot (\vartheta_{R}(t) - \vartheta_{u}(t)) \)

mit \( k = \frac{\lambda \cdot A}{r \cdot c_{p,R}} \).

Parameterwerte:

\( k = \frac{71 \, \text{W/mK} \cdot 28,717 \times 10^{-6} \, \text{m}^2}{0,625 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot 130 \, \text{J/kgK}} \)

Analyse für PT1-System:

Ein PT1-System ist beschrieben durch die Differentialgleichung:

\( \frac{d\vartheta_{R}(t)}{dt} + k\vartheta_{R}(t) = k\vartheta_{u}(t) \)

Sprungantwort:

Für eine Sprungantwort setzen wir \(\vartheta_{u}(t) = \Theta_{u}\) für \(t \geq 0\), wobei \(\Theta_{u}\) die Sprunghöhe ist. Die Lösung für die Sprungantwort lautet:

\( \vartheta_{R}(t) = \Theta_{u} + (\vartheta_{R}(0) - \Theta_{u}) \cdot e^{-kt} \)

Impulsantwort:

Die Impulsantwort ergibt sich als die erste Derivative der Sprungantwort bezüglich der Zeit, was zu \(k \cdot e^{-kt}\) führt.

Konsequenzen für die industrielle Praxis:

Diese Modellanalyse zeigt, dass die Reaktionszeit des Pt100-Sensors von der Materialkonstante \(k\) bestimmt wird, welche wiederum von den Material- und Abmessungseigenschaften abhängt. Eine höhere Wärmeleitfähigkeit \( \lambda \) und eine größere Oberfläche \( A \) können die Reaktionszeit verbessern, während ein größerer Radius \( r \) und eine höhere spezifische Wärmekapazität \( c_{p,R} \) diese verlangsamen. Da in der Industrie oft schnelle und präzise Temperaturmessungen erforderlich sind, muss bei der Auswahl des Sensors neben der Genauigkeit auch die dynamische Antwort betrachtet werden.