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Aufgabe:

Zur Messung der Oberflächenspannung \( \sigma \) einer Flüssigkeit soll die in der Skizze gezeigte U-Rohr-Anordnung
verwendet werden: Im linken Schenkel wird die Masse eines Kolbens mit Durchmesser D solange bis zum Wert
\( m_{K} \) erhöht bis am oberen Ende des rechten Schenkels ein Tropfen mit dem Radius d/2 entsteht.

Die Flüssigkeit
ist inkompressibel und hat die Dichte \( \rho . \) Der Umgebungsdruck beträgt \( p_{0}, \) die Gravitationsbeschleunigung g.
Was gilt für die Drücke \( p_{1} \) und \( p_{2} \) an den markierten Stellen (1) und (2)?

Unbenannt.PNG

\( [\quad]\ p_{1}=p_{0}+\frac{g m_{K}}{\pi D^{2}} \)

\( [\quad]\ p_{1}=p_{0} \)

\( [  x  ]\ p_{1}=p_{1}=p_{0}+\frac{4 g m_{K}}{\pi D^{2}} \)

\( [\quad]\ p_{2}=\frac{4 g m_{K}}{\pi D^{2}}+\rho g h_{K} \)

\( [x]\ p_{2}=p_{0}+\frac{4 g m_{K}}{\pi D^{2}}+\rho g h_{K} \)

\( [\quad]\ p_{2}=p_{0}+\frac{g m_{K}}{\pi D^{2}}+\rho g h_{T} \)


Was gilt für die Drücke \( p_{3} \) und \( p_{4} \) an den markierten Stellen (3) und (4)?

\( [\quad] p_{3}=p_{0} \)

\( [x] p_{3}=p_{0}+\frac{4 \sigma}{d} \)

\( [\quad] p_{3}=p_{0}-\frac{4 \sigma}{d} \)

\( [\quad] p_{4}=p_{0}+\frac{4 \sigma}{d}+\rho g h_{T} \)

\( [x] p_{4}=p_{0}+\frac{4 \sigma}{d}+\rho g h_{K} \)

\( [\quad] p_{4}=p_{0}-\frac{4 \sigma}{d}+\rho g h_{T} \)


Wie groß ist die Oberflächenspannung \( \sigma \) der Flüssigkeit?

\( [\quad] \sigma=g d\left(\frac{m K}{\pi D^{2}}+\frac{\rho}{4}\left(h_{K}-h_{T}\right)\right) \)

\( [\quad] \sigma=g d \frac{ρ}{4}\left(h_{K}-h_{T}\right) \)

\( [\quad] \sigma=g d \frac{m K}{\pi D^{2}} \)

\( [\quad] \sigma=g d\left(\frac{m_{K}}{\pi D^{2}}+\frac{\rho}{4}\left(h_{T}-h_{K}\right)\right) \)

\( [x] \sigma=\frac{1}{g d}\left(\frac{m_{K}}{\pi D^{2}}+\frac{\rho}{4}\left(h_{K}-h_{T}\right)\right) \)

\( [\quad] \frac{1}{g d}\left(\frac{\pi D^{2}}{m_{K}}+\frac{\rho}{4}\left(h_{K}-h_{T}\right)\right) \)


Sind meine angekreuzten Ergebnisse richtig?

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Antwort mit KI erzeugt

Drücke \( p_{1} \) und \( p_{2} \)

Die angegebenen Drücke bei den Punkten (1) und (2) sind wie folgt:

- \( p_{1}=p_{0}+\frac{4 g m_{K}}{\pi D^{2}} \): Dies scheint ein Fehler zu sein, da die korrekte Formel für den Druck unter dem Kolben \( p_{1} \) aufgrund der hydrostatischen Druckerhöhung durch das Gewicht des Kolbens tatsächlich lauten sollte: \( p_{1}=p_{0}+\frac{g m_{K}}{\pi D^{2}} \). Die Option \([x] p_{1}=p_{0}+\frac{4 g m_{K}}{\pi D^{2}} \) scheint eine Fehlinterpretation zu sein und sollte nicht angekreuzt werden.

- \( p_{2}=p_{0}+\frac{4 g m_{K}}{\pi D^{2}}+\rho g h_{k} \): Dies ist korrekt, wenn man davon ausgeht, dass der zusätzliche Faktor 4 ein Tippfehler oder Missverständnis bei \( p_{1} \) ist. Für \( p_{2} \) berücksichtigt diese Formel korrekt den atmosphärischen Druck \( p_{0} \), den hydrostatischen Druck durch das Gewicht des Kolbens und den hydrostatischen Druck der Flüssigkeitssäule bis zur Höhe \( h_{K} \).

Drücke \( p_{3} \) und \( p_{4} \)

Die angegebenen Drücke bei den Punkten (3) und (4) sind:

- \( p_{3}=p_{0}+\frac{4 \sigma}{d} \): Diese Antwort ist korrekt, da sie die Laplace-Gleichung für die Druckdifferenz über eine gekrümmte Oberfläche beinhaltet, die besagt, dass \( p_{innen} - p_{außen} = \frac{2 \sigma}{r} \) (mit \( r = \frac{d}{2} \), also \( p_{innen} - p_{außen} = \frac{4 \sigma}{d} \)).

- \( p_{4}=p_{0}+\frac{4 \sigma}{d}+\rho g h_{K} \): Dies ist ebenfalls korrekt, da es den Umgebungsdruck, den Druck aufgrund der Oberflächenspannung und den hydrostatischen Druck der Flüssigkeitssäule bis zur Höhe \( h_{K} \) umfasst.

Oberflächenspannung \( \sigma \)

Die Formel für die Oberflächenspannung \( \sigma \), die hier als richtig angegeben wurde, ist:

\( \sigma=\frac{1}{g d}\left(\frac{m_{K}}{\pi D^{2}}+\frac{\rho}{4}\left(h_{K}-h_{T}\right)\right) \)

Jedoch scheint hier ein Missverständnis bezüglich der Einheiten oder der Herleitung vorzuliegen. Die korrekte Herleitung der Oberflächenspannung \( \sigma \) sollte die Gleichung für den Druck an der Stelle (3) oder (4) und die entsprechenden hydrostatischen Bedingungen berücksichtigen. Die formulierte Antwort suggeriert eine Dimensionalanalyse oder eine spezifische Formel, die nicht direkt nachvollziehbar ist, ohne dass die spezifische Herleitung oder weitere Annahmen vorgegeben sind. Ohne die gegebene Skizze und detailliertere Informationen über die konkrete Fragestellung ist die Validierung des angekreuzten Ergebnisses für \( \sigma \) nicht eindeutig möglich.

In der klassischen Herleitung würde man die Oberflächenspannung eher direkt aus der Kräftebilanz an der Oberfläche oder aus der Arbeit zur Erzeugung einer neuen Oberfläche herleiten, was nicht direkt mit den gegebenen Informationen übereinstimmt. Deine Markierung macht jedoch Sinn, wenn sie im Kontext eines spezifischen experimentellen Aufbaus und einer Vereinfachung oder Annäherung betrachtet wird.
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