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Stellen Sie die potentielle Gesamtenergie des Systems auf.
Für die potentielle Gesamtenergie \(\Pi\) des Systems werden die potentielles Energien durch die Gravitation und die Federn betrachtet. Die Gesamtenergie ist die Summe aus der potentiellen Energie der Masse \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\) im Schwerefeld und der potentiellen Energie der Federn.
Die potentielle Energie einer Masse \(m\) im Schwerefeld der Erde (mit Erdbeschleunigung \(g\)) in einer Höhe \(h\) über dem Nullniveau ist gegeben durch \(U_{\text{grav}} = mgh\).
Die potentielle Energie einer gedehnten oder gestauchten Feder mit der Federkonstanten \(k\) und der Auslenkung \(q\) vom Entspannungszustand aus betrachtet, ist durch \(U_{\text{Feder}} = \frac{1}{2}kq^2\) gegeben.
Für das gegebene System:
- Der Schwerpunkt von Stab 1 liegt in der Mitte des Stabes, also in einem Abstand von \(\frac{l_1}{2}\) von Punkt \(A\), mit einem Winkel \(q_1\) zur Vertikalen. Seine potentielle Gravitationsenergie ist \(U_{1} = m_1g\frac{l_1}{2}\cos(q_1)\).
- Der Schwerpunkt von Stab 2 befindet sich in der Mitte des Stabes, jedoch ist dieser Stab nicht direkt an Punkt \(A\) befestigt, sondern an Punkt \(B\), der sich am Ende von Stab 1 befindet. Die Gesamtlänge von Punkt \(A\) zum Schwerpunkt von Stab 2 beträgt \(l_1 + \frac{l_2}{2}\). Bei der Betrachtung der Höhe über dem Nullniveau muss man die vertikalen Komponenten ihrer Positionen über Kosinus-Beträge der Winkel berechnen: \(U_{2} = m_2g(l_1\cos(q_1) + \frac{l_2}{2}\cos(q_1 + q_2))\).
- Die Kreisscheibe am Ende des Stab 2 hat eine potentielle Energie, die in ähnlicher Weise berechnet wird, mit einer Höhe von \(l_1\cos(q_1)+l_2\cos(q_1+q_2)\). Also \(U_{3} = m_3g(l_1\cos(q_1)+l_2\cos(q_1+q_2))\).
- Die potentielle Energie der Drehfeder 1 mit Federkonstante \(k_1\) beim Winkel \(q_1\) ist \(U_{\text{Feder1}} = \frac{1}{2}k_1q_1^2\).
- Die potentielle Energie der Drehfeder 2 mit Federkonstante \(k_2\) bei einem Winkel \(q_2\) ist \(U_{\text{Feder2}} = \frac{1}{2}k_2q_2^2\).
Die
Gesamtenergie des Systems ist die Summe all dieser Energien:
\(
\Pi = U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{\text{Feder1}} + U_{\text{Feder2}}
\)
\(
= m_1g\frac{l_1}{2}\cos(q_1) + m_2g(l_1\cos(q_1) + \frac{l_2}{2}\cos(q_1 + q_2)) + m_3g(l_1\cos(q_1)+l_2\cos(q_1+q_2)) + \frac{1}{2}k_1q_1^2 + \frac{1}{2}k_2q_2^2
\)
Bedingung(en) für Gleichgewichtszustände dieses Systems:
Für Gleichgewichtszustände müssen die partiellen Ableitungen der potentiellen Gesamtenergie nach jedem Drehfreiheitsgrad null sein:
\(
\frac{\partial \Pi}{\partial q_1} = 0, \quad \frac{\partial \Pi}{\partial q_2} = 0
\)
Diese Bedingungen stellen sicher, dass sich das System in einem lokalen Minimum seiner potentiellen Energie befindet, was einem stabilen oder labilen Gleichgewicht entspricht.
Wert für die Masse \(m\) in Abhängigkeit der Größen \(k, g\) und \(l\):
Gegeben ist \(\Pi\left(q_{1}, q_{2}\right)\) und ein möglicher Gleichgewichtszustand für \(q_{1}=0\), \(q_{2}=\pi / 6\). Für Gleichgewichtszustände benutzen wir:
\(
\frac{\partial \Pi}{\partial q_1} = 0, \quad \frac{\partial \Pi}{\partial q_2} = 0
\)
Einsetzen von \(q_{1}=0\), \(q_{2}=\pi / 6\):
- Da keine explizite Form der potentiellen Energie im Bezug auf \(m\) gegeben ist, die direkt aus den Gleichgewichtsbedingungen abgeleitet werden könnte, muss stattdessen die gegebene potentielle Energie betrachtet werden, um \(m\) zu bestimmen. Beispielsweise kann dies durch Lösen des Systems potentieller Energiegleichungen unter Verwendung der gegebenen Gleichgewichtsbedingungen erfolgen, was hier nicht direkt ohne Weiteres möglich ist, da der spezifische Aufgabenteil c) auf eine konkrete Bedingung abstellt, die nicht direkt gegeben ist. Angesichts dieser Eigenheit des Problems kann man ohne direkte Differenzierung der spezifischen potentiellen Energie \(\Pi\) keine spezifische Lösung für \(m\) angeben.
Stabilität der Gleichgewichtslage:
Für die Stabilität eines Gleichgewichtszustandes muss die zweite Ableitung der potentiellen Energie positiv sein, also:
\(
\frac{\partial^2 \Pi}{\partial q_i^2} > 0
\)
für alle \(i\). Diese Konditionen determinieren, ob das System zu einem Minimum seiner potentiellen Energie tendiert (stabil) oder nicht (instabil). Dazu müssen die spezifischen Werte und Gleichungen herangezogen werden, um die Art der Stabilität zu klassifizieren.