Spannungen bei Zugversuch aufgrund Querkontraktion (Normalspannung)

Question

ich habe eine Frage bezüglich Strukturmechanik/Spannungen in einem Bauteil. Ich denke, dass sich viele hier auch gut damit auskennen (Insbesondere Werner-Salomon hat mir bei Fragen dieser Art schon öfter weitergeholfen)

Angenommen ich führe einen axialen Zugversuch an einem Stab mit rechteckigen Querschnitt durch. Materialverhalten sei einfach linear elastisch. Der Stab wird an einem Ende mit einer Kraft F senkrecht zum Querschnitt belastet. Die Lagerung am anderen Ende soll auch nur eine Kraft in axialer Richtung aufnehmen können, damit keine Querdehnungen behindet werden.

Meine Frage ist nun, welche Spannungen in dem Stab entstehen. Das in Längsrichtung Normalspannungen entstehen ist mir klar, mich interessiert was in den anderen Raumrichtungen aufgrund der Querkontraktion passiert, da ich hierführ zwei widersprüchliche Ansätze habe.

Auf der einen Seite würde ich sagen, dass keine Normalspannungen in y- und z-Richtung entstehen, da keine Zwängung vorliegt und somit die Querkontraktion nicht behindert wird. Auf der anderen Seite gibt es ja eine Verschiebung und damit Dehnung in y-und z-Richtung. Und die Spannungen sind ja über das Stoffgesetz eine Funktion der Verschiebung/Dehnung. Aus einer Dehnung entsteht über das Stoffgesetz eine Spannung.

Mich interessiert also (rein qualitativ) der Betrag der Normalspannungen sigma_yy und sigma_zz, wenn der Stab in x-Richtung mit der Spannung sigma_xx belastet wird.

Vielen Dank für eure Antworten!

Viele Grüße

Simon

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Nachtrag:

Das Problem konnte der Fragestellung konnte ich mir mittlerweile erschließen. Allerdings bin ich auf ein neues Problem gestoßen:

Es entstehen ja auch Schubspannungen in dem Stab (ohne Schubspannungen gäbe es keine plastische Verformung, also ist diese bei großen Verformungen immer vorhanden). Meine Frage ist nun wie man sich das Vorhandensein von  Schubspannungen anschaulich erklären kann; der Stab wird ja nur durch eine Normalspannung mit der Kraft F senkrecht zum Querschnitt beansprucht.

Ich habe bereits öfters die Erklärung mit dem Schnitt unter 45 Grad gesehen, bei dem die maximalen Schubspannungen an der Schnittfläche angetragen werden. Allerdings könnte ich doch auch unter 0 Grad schneiden und hätte dann nur Normalspannungen. Dem Baueil ist es doch egal, ob ich unter 0 Grad oder unter 45 Grad schneide und wie ich mein Koordinatensystem definiert habe. Das spürt doch nur die Wirkung der Kraft F.

Woher weiß ich also wie ich die Schnittrichtung wählen muss, um den Spannungszustand an einem beliebigen Punkt richtig zu beschreiben? Wie gesagt mir ist klar, dass unter 45 Grad Schub und Zugspannung existiert, unter 0 Grad nur Zugspannung. Aber das ist ja alles koordinatensystemabhängig, wovon mein Bauteil ja nichts weiß.

Answer 1

Hallo Simon,

es ehrt mich, dass Du mir zutraust auf diese Frage eine seriöse Antwort geben zu können. Aber wenn ich das mal gewußt habe, dann ist das länger her als Du alt bist ;-)

Ich habe seitdem nichts mehr mit solchen Fragestellungen zu tun gehabt. Was ich noch weiß, ist die Sache mit den Schubspannungen. (s. Dein Kommentar) Ein duktiler und homogner Werkstoff (z.B. Stahl) wird wahrscheinlich im Winkel von 45° reißen, da hier die größten Schubspannungen auftreten. Das nennt man einen Scherbruch.

Wenn Du mal Bilder von den gebrochenen Stahlstützen des WTC gesehen hast, so waren diese unter Druck genau unter 45° gebrochen. Irgendwelche Dummies haben dann daraus sofort eine Verschwörungstheorie gebastelt; der CIA selbst soll dort Sprengsätze angebracht haben! Das ich nicht lache! Dabei lernt das jeder Maschinenbauer schon im Vordiplom.

Das spürt doch nur die Wirkung der Kraft F.

eben nicht nur, wenn das Material sich anfängt zu verformen (also duktil ist). Dann gleiten innerhalb des Materials Atome oder Moleküle aneinander vorbei und je nach Material und makroskopischen Aufbau des selben, können dann die Schubspannungen dazu führen, dass es zerreißt.

Woher weiß ich also wie ich die Schnittrichtung wählen muss, um den Spannungszustand an einem beliebigen Punkt richtig zu beschreiben?

Streng genommen musst Du jede(!) Richtung wählen. Mache Dir vielleicht mal die Mühe und rechne in Abhängigkeit eines Schnittwinkels durch den Zugstab (0° ist orthogonal zur Zugrichtung) die Schub- und Normalspannungen an der Schnittfläche aus.

So weit ich mich noch erinnere entsteht im Prinzip das, was man einen Spannungstensor nennt. Ein Spannungstensor selbst hat nachher eine bestimmte Richtung (die Hauptachsen des Tensors), so wie ein Ellipsoid im Raum. Und an der Lage diese Hautptachsen kann man dann die Richtung der relevanten Spannungen ablesen.

Gruß Werner

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Hallo Werner,

Danke für deine Antwort! Vor etwa zwei Jahren habe ich dich mit Fragen zu Schraubenberechnungen konfrontiert, die du alle souverän beantworten konntest. Und du hast erwähnt, dass du Maschinenbauer bist. Daher sehe ich dich als richtigen Ansprechpartner ;)

Zwei (sehr allgemein gehaltene) Fragen möchte ich noch einbringen:

1.) Das mit den Spannungstensoren ist mir geläufig. Zunächst ermittelt man ja aus den Koeffizienten des Spannungstensors die Hauptspannungen und dann daraus über Festigkeitshypothesen eine Vergleichsspannung,  die dann mit Ergebnissen aus Zugversuchen o.ä. verglichen werden, etc...

Der einaxiale Zugversuch ist dadurch gekennzeichnet, dass alle Komponenten des Spannungstensors, bis auf den Eintrag "Sigma_11" Null sind, also auch die Schubspannungen. Wenn ich den Stab jedoch an einer beliebigen Stelle x (also über seine Länge) unter einem bestimmten Winkel schneide, kriege ich auch Schubspannungen. Damit kann ich mittlerweile anfreunden :D

Wenn ich aber den Spannungstensor aufstelle, trage ich nur für "Sigma_11" einen von Null verschiedenen Eintrag ein. Diese Spannung ist dann gleich der Hauptspannung (einachsiger Spannungszustand) und damit auch gleich der Vergleichsspannung. Für Festigkeitsnachweise rechnet man ja auch nur mit der Normalspannung (aufgeprägte Kraft/Fläche). Da interessiert sich also niemand für irgendwelche Schubspannungen, die im Bauteil existieren.

Das heißt ja, dass für die Auslegung die Hauptspannungen relevant sind (für den Zugstab also einfach externe Kraft/Fläche. Doch warum gerade die Hauptspannungen und nicht die Spannungen im 45 Grad gedrehten Koordinatensystem, wo ich Schub und Zug hätte? Wieso definiert das Hauptachsenkoordinatensystem den Grad der Mehrachsigkeit des Spannungszustands? Die Schubspannungen, die du in deiner Antwort erwähnt hast, bleiben so ja völlig unberücksichtigt.

2.) Mir fehlt eine vernünftige Vorstellung des Spannungsbegriffs, mit der ich die Ergebnisse beispielsweise einer FEM-Simulation plausibel bewerten kann. Mir ist klar, dass an Lagerungen Reaktionskräfte und folglich auch Spannungen entstehen. Kraftangriffspunkte oder lastfreie Oberflächen bleiben spannungsfrei. Solche Dinge sind mir geläufig. Auch die mathematischen Hintergründe der Strukturmechanik/FEM-Methode kenne ich gut, auf solche Dinge kommt es mir bei dieser Frage nicht an.

Was mir fehlt ist z. B. in Abhängigkeit einer beliebigen Belastung auf ein beliebig geformtes Bauteil an einem beliebigen Punkt innerhalb dessen eine rein qualitative Aussage über Spannungen zu treffen, also ob dort Spannungen vorhanden sind oder nicht. Das macht ja einen guten Entwickler aus. Bei Aussagen wie "es wird eine Schubspannung übertragen" tue ich mir zu verstehen was gemeint ist.

Mir würde ein Analogiemodell für den Spannungsbegriff weiterhelfen. Wenn ich einen Dämpfungszylinder betrachte, sagt man ja "Spannung wird dissipiert". Dissipation kenne ich als Umwandlung einer Energieform in Wärme durch Reibung. Kann man sich also Spannungen als Energie/Energiefluss vorstellen? Von der Dimension her natürlich Blödsinn, aber einfach nur zur Veranschaulichung. Abschließend möchte ich noch auf den Zugversuch eingehen. Hier fällt ja der Kraftaufwand zur weiteren Verlängerung nach Überschreiten der Fließgrenze im Vergleich zum linear elastischen Bereich ab, ergo auch die Spannung im Bauteil.

Vielleicht hast du ein paar Tipps für mich, wie man einen Spannungszustand "abschätzen" kann. Worauf ich hinaus will ist grundlegend zu verstehen was gemeint ist bei Aussagen wie:

-Es wird eine Spannungen übertragen

-Es kann keine Spannung übertragen werden (Sind diese dann Null? Was wäre ein einfaches Beispiel wo keine Spannung übertragen werden kann?

-Wieso sinken im plastischen Bereich die Spannungen im Bauteil? Was passiert da im Bauteil? (Die Theorie der Versetzungsbewegung kenne ich, jedoch nicht den Zusammenhang mit der Spannung)

Ich sage schon mal vielen Dank!

Viele Grüße

Simon

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Hallo Simon,

ich hatte schon vermutet, dass der Spannungstensor für Dich ein Begriff ist. Ich kann Dir da aber nicht mehr weiter helfen.

Deine Fragestellung oben ist berechtigt und zeugt von einem tiefergehenden Interesse an der Problematik. Schnapp' Dir einen Prof/Dozenten Deines Vertrauens und diskutiere das mit ihm. Wenn es ein 'guter' ist, dann müsste er sich freuen, wenn ein Studierender solche Fragen stellt.

Ansonsten kann ich Dir nur empfehlen, Dich weiter mit der Problematik zu beschäftigen. Ich weiß aus eigener Erfahrung, dass es teilweise Jahre dauern kann, bis sich bei dem einen oder anderen Thema ein tiefergehendes Verständnis einstellt.

In diesem Sinne wünsche ich Dir viel Erfolg.

Gruß Werner

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Hallo Werner,

da werde ich dran bleiben! Vielen Dank für deine Hilfe!

Ich habe hier eine neue Frage gestellt, die sicherlich nur du beantworten könntest. Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du mir helfen könntest. Es geht um die Identifizierung von Kräften an einer Welle. Konkrete Berechnungen kann ich dann selber ausführen, es geht mir nur darum welche Kräfte auf die Welle wirken.

Hier der Link:

https://www.nanolounge.de/24345/freikorperbild-einer-mit-kraften-belasteten-welle

Danke!