Antwort mit KI erzeugt
Ansatz/Problem:
Zur Berechnung der maximalen und minimalen Normalspannungen in einem zweifach gelagerten Träger unter einer Streckenlast werden in der Tat die Momente \(M_y\) und \(M_z\) benötigt, sowie der Abstand der extremsten Punkte von der Nulllinie, an denen diese Spannungen auftreten. Die Berechnung der Momente erfolgt anhand der auf den Träger wirkenden Lasten und den geometrischen Bedingungen des Trägers. Da in der Auftgabe nicht direkt von Biegung um die Hauptachsen oder Schubmittelpunkt ausgegangen wird, betrachten wir zunächst die auftretenden Biegemomente durch die Streckenlast.
Die Streckenlast \(q_{0}\) erzeugt ein Biegemoment \(M\), dessen maximaler Wert in der Mitte des Trägers auftritt, in einem System, das an beiden Enden unterstützt wird. Das maximale Biegemoment unter einer gleichmäßig verteilten Last \(q_{0}\) auf einer Länge \(l\) ist gegeben durch:
\(
M_{\text{max}} = \frac{q_{0} \cdot l^{2}}{8}
\)
Da der Träger zweifach gelagert ist und die Last in \(z\)-Richtung wirkt, nehmen wir zunächst an, dass das Biegemoment um die \(y\)-Achse dreht (\(M_y\)), was Stresses in der \(x\)-Richtung erzeugt, da die Angabe primär auf Normalspannung \(\sigma_{x}\) fokussiert ist.
Berechnung des maximalen Biegemoments \(M_y\):
Gegeben: \(q_{0} = 10 \text{kN} / \text{m}\), \(l = 200 \text{cm} = 2 \text{m}\)
\(
M_{y, \text{max}} = \frac{10 \cdot (2)^2}{8} = \frac{10 \cdot 4}{8} = \frac{40}{8} = 5 \text{kNm} = 5000 \text{Nm}
\)
Da keine spezifischen Informationen über Kräfte oder Lasten in \(y\)-Richtung gegeben sind, die ein Moment um die \(z\)-Achse (\(M_z\)) erzeugen würden, und die Aufgabe sich auf Normalspannungen \(\sigma_x\) infolge der Biegebelastung konzentriert, bleibt die Berechnung auf \(M_y\) fokussiert.
Berechnung der Normalspannungen:
Normalspannungen in einem biegebelasteten Träger können mit der Biegespannungsformel berechnet werden:
\(
\sigma_x = \frac{M_y}{I_y} \cdot z
\)
wobei:
- \(\sigma_x\) die Normalspannung ist,
- \(M_y\) das Biegemoment um die \(y\)-Achse,
- \(I_y\) das Flächenträgheitsmoment um die \(y\)-Achse,
- \(z\) der Abstand von der neutralen Achse zur Stelle, an der die Spannung berechnet wird.
Für die maximale Spannung:
\(
\sigma_{x,\text{max}} = \frac{5000 \text{Nm}}{112,6 \text{cm}^4 \cdot 10^{-4} \text{m}^2/\text{cm}^2} \cdot z_{\text{max}}
\)
Da keine Abstände \(z_{\text{max}}\) gegeben sind, kann die konkrete Berechnung der maximalen/minimalen Spannungen nicht durchgeführt werden, ohne die spezifischen Werte von \(z\) und ohne die Zeichnung zu interpretieren, um die maximalen/minimalen Abstände von der neutralen Achse (die normalerweise durch die Querschnittmitte geht, wenn nicht anders angegeben) zu bestimmen.
In einer realen Anwendung müssten Sie die Abmessungen aus der Zeichnung entnehmen, um \(z_{\text{max}}\) und \(z_{\text{min}}\) zu finden. Im Allgemeinen ist \(\sigma_{x,\text{max}}\) am weitesten entfernt von der neutralen Faser (obere oder untere Kante des Querschnitts), und Sie würden für jede Seite des Querschnitts die Spannungen prüfen, um die extremen Werte zu bestimmen.
