Antwort mit KI erzeugt
Längsdehnung \( \varepsilon_{l} \) berechnen
Zuerst berechnen wir die Längsdehnung \( \varepsilon_{l} \) der Probe, welche durch den Zugversuch erfahren wurde. Die Längsdehnung ist definiert als die relative Längenänderung der Probe. Mathematisch ausgedrückt:
\(
\varepsilon_{l} = \frac{\Delta l}{l_{0}}
\)
Setzen wir die gegebenen Werte ein:
\(
\varepsilon_{l} = \frac{1,5 \, \mathrm{mm}}{200 \, \mathrm{mm}} = 0,0075
\)
Querkontraktionszahl \( v \) berechnen
Die Querkontraktionszahl \( v \), auch Poissonzahl genannt, beschreibt das Verhältnis von relativer Querdehnung (Dickenänderung) zur relativen Längsdehnung (Längenänderung) bei einer elastischen Deformation. Sie kann auch mit den gegebenen Werten des Elastizitätsmoduls \( E \) und des Schubmoduls \( G \) berechnet werden, da folgender Zusammenhang besteht:
\(
v = \frac{E}{2G} - 1
\)
Setzen wir die Werte für \( E \) und \( G \) ein (Achtung: \( 1 \, \mathrm{GPa} = 1000 \, \mathrm{MPa} \), daher \( G = 75000 \, \mathrm{MPa} \)):
\(
v = \frac{210.000 \, \mathrm{MPa}}{2 \cdot 75.000 \, \mathrm{MPa}} - 1 = 0,4
\)
Durchmesseränderung der Probe \( \Delta d \) berechnen
Die Durchmesseränderung \( \Delta d \) kann mithilfe der Querkontraktionszahl \( v \) und der Längsdehnung \( \varepsilon_{l} \) berechnet werden. Die relative Querdehnung (Querkontraktionsverhältnis) ist das Produkt aus der Querkontraktionszahl und der Längsdehnung:
\(
\frac{\Delta d}{d_{0}} = -v \cdot \varepsilon_{l}
\)
Hier drückt das Minuszeichen aus, dass eine Längsverlängerung zu einer Querverringerung führt. Umstellung der Formel nach \( \Delta d \) ergibt:
\(
\Delta d = d_{0} \cdot (-v \cdot \varepsilon_{l})
\)
Einsetzen der Werte:
\(
\Delta d = 20 \, \mathrm{mm} \cdot (-0,4 \cdot 0,0075) = -0,06 \, \mathrm{mm}
\)
Zusammenfassung der Ergebnisse
- Die Längsdehnung \( \varepsilon_{l} \) beträgt 0,0075 oder 0,75%.
- Die Querkontraktionszahl \( v \) wurde zu 0,4 berechnet.
- Die Durchmesseränderung \( \Delta d \) der Probe unter Last beträgt -0,06 mm, was bedeutet, dass der Durchmesser sich um 0,06 mm verringert hat.
