Hallo equinox,
da geht einiges durcheinander. Die Einheit Nm/min ist eine Einheit für Leistung, also Energie pro Zeit.
Wenn ich jetzt beide Seiten integriere von Zustand 1 bis Zustand 2, woher weiß ich welche delta hinter das Integral kommen?
Ein Integral kannst Du als eine Summe von vielen kleinen Produkten betrachten. Der eine Faktor des Produkts ist hier die Leistung zu einem bestimmten Zeitpunkt. Der andere Faktor ist das \(\text{d}t\). Das Ergebnis eines Produkts aus Leistung mal Zeit ist Energie bzw. Arbeit, die mit dem Zeichen \(W\) benannt wird.
Das heißt, das Delta hinter dem Integral ist immer der Faktor, mit dem man den aktuellen Wert dessen, was hinter dem Integralzeichen steht, multiplizieren muss, um zu dem Produkt - hier der Arbeit - zu kommen.
In Deinem Fall stehen \(U\) und \(W\) für Energien, und \(\dot W\) ist eine Leistung, die sich naturgemäß mit der Zeit auch ändern kann.
Die Volumenarbeit, also die Energie die ein unter einem Druck \(p\) stehendes Gas enthält, erhält man als Produkt aus dem Druck \(p\) und einem Volumen \(V\) oder eben auch \(\text{d}V\), wenn der Druck innerhalb des betrachteten Volumens nicht konstant ist. Dann ist$$W_V = \int_{V_1}^{V_2} p\, \text{d}V$$D.h. man summiert über alle kleinen Volumen \(\text{d}V\) das Produkt aus \(p\) und \(\text{d}V\) auf, und erhält die Gesamtenergie des Volumens.
Schau Dir dazu das Bild rechts auf der Seite über Volumenarbeit an. Jedes \(\text{d}V\) entspricht einer Scheibe in dem dargestellten Zylinder.
Gruß Werner