DGL mit Anfangsbedingung integrieren - Theoretische Physik

Question

Aufgabe:

Auf der rotierenden Erde betrachten wir einen Massenpunkt, der auf eine horizontale Ebene \( x_{3}^{\prime \prime}= \) constant eingeschränkt sein soll und sich in dieser kräftefrei bewegt. Integrieren sie für diesen Fall die Differentialgleichungen (218) und (219) mit den Anfangsbedingungen

\( \left(\begin{array}{l} x_{1}^{\prime \prime}(0) \\ x_{2}^{\prime \prime}(0) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l} \dot{x}_{1}^{\prime \prime}(0) \\ \dot{x}_{2}^{\prime \prime}(0) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} v_{0} \cos \varphi_{0} \\ v_{0} \sin \varphi_{0} \end{array}\right) \)

mit Konstanten \( v_{0} \) und \( \varphi_{0} \). Skizzieren Sie die Bahnkurve für einige Werte von \( \varphi_{0} \). Erläutern Sie mit Hilfe dieser Ergebnisse, in welche Richtung sich Tiefdruckgebiete bzw. Hochdruckgebiete auf der Erde drehen.


Mein Ansatz wäre, dass man die letzten beiden Gleichungen vereinfacht, da 3 Terme gleich 0 sind. Der Massepunkt soll ja kräftefrei und x3=const. sein.Ich dachte , dass man vielleicht so vorgehen kann: Die erste Gleichung einmal ableiten und x2 aus der 2. Gleichung einsetzen. Das gibt die Differentialgleichung einer ungedämpften harmonischen Schwingung. Dafür die allgemeine Lösung einsetzen und die Konstanten so bestimmen, dass die gegebenen Anfangsbedingungen erfüllt sind.
Wie man das weiter ausführt, weiß ich aber leider nicht. Habt ihr hier Lösungsvorschläge für diese Aufgabe?


Formeln (218, 219):

\( \frac{d^{2} x_{1}^{\prime \prime}}{d t^{2}}=\frac{1}{m} F_{s 1}^{\prime \prime}+2 \omega \sin \beta \frac{d x_{2}^{\prime \prime}}{d t} \)
\( \frac{d^{2} x_{2}^{\prime \prime}}{d t^{2}}=\frac{1}{m} F_{s 2}^{\prime \prime}-2 \omega \sin \beta \frac{d x_{1}^{\prime \prime}}{d t}-2 \omega \cos \beta \frac{d x_{3}^{\prime \prime}}{d t}, \)

Comments

deine Dgl sind etwas eigenartig. 1. x'' was meist zweite Ableitung bedeutet und dann davon nochmal die zweite Ableitung, dann was ist mit x3?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Lösung der Differentialgleichungen

Da der Massenpunkt kräftefrei auf einer horizontalen Ebene mit \(x_3'' = \text{const.}\) bewegt wird, sind die Kräfte \(F_{s1}''\) und \(F_{s2}''\) gleich Null. Zudem ist wegen der Einschränkung auf die horizontale Ebene die Änderungsrate von \(x_3''\) auch Null (\(\frac{dx_3''}{dt} = 0\)). Damit vereinfachen sich die Differentialgleichungen zu:

1. \( \frac{d^{2} x_{1}''}{d t^{2}}=2\omega\sin(\beta)\frac{d x_{2}''}{d t} \)
2. \( \frac{d^{2} x_{2}''}{d t^{2}}=-2\omega\sin(\beta)\frac{d x_{1}''}{d t} \)

Da \(\frac{dx_3''}{dt} = 0\), ist der Term mit \(\cos(\beta)\) irrelevant.

Um diese Gleichungen zu lösen, setzen wir die Anfangsbedingungen ein, die gegeben sind durch:

\( \begin{aligned} x_1''(0) &= 0 \\ x_2''(0) &= 0 \\ \dot{x}_1''(0) &= v_0\cos(\varphi_0) \\ \dot{x}_2''(0) &= v_0\sin(\varphi_0) \end{aligned} \)

Integration der Differentialgleichung

Betrachten wir die erste Gleichung. Eine erste Integration über die Zeit t führtdaraufhin, dass die Geschwindigkeit in \(x_1''\)-Richtung proportional ist zur Position in \(x_2''\)-Richtung:

\( \frac{dx_1''}{dt} = 2\omega\sin(\beta)x_2'' + C_1 \)

Mit der Anfangsbedingung \(\dot{x}_1''(0) = v_0\cos(\varphi_0)\) bestimmen wir \(C_1\):

\( v_0\cos(\varphi_0) = C_1 \implies C_1 = v_0\cos(\varphi_0) \)

Wiederholen wir das für die zweite Gleichung:

\( \frac{dx_2''}{dt} = -2\omega\sin(\beta)x_1'' + C_2 \)

Mit der Anfangsbedingung \(\dot{x}_2''(0) = v_0\sin(\varphi_0)\) bestimmen wir \(C_2\):

\( v_0\sin(\varphi_0) = C_2 \implies C_2 = v_0\sin(\varphi_0) \)

Jetzt integrieren wir beide Gleichungen nochmals über die Zeit, um \(x_1''\) und \(x_2''\) als Funktion aller Anfangsbedingungen und Parameter zu erhalten. Jedoch ohne direkte Formeln für diese zweite Integration ist klar, dass wir ein System von gekoppelten linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung vor uns haben, welches die Form einer ungedämpften harmonischen Schwingung für jede Koordinate in Abhängigkeit von der anderen annimmt.

Bahnkurve und Erklärung

Die spezifische Form der Lösung hängt von den Konstanten ab und ist typischerweise eine Art elliptische Bahn für \(x_1''\) und \(x_2''\), wobei die Ellipse durch die Coriolis-Kraft, die wegen der Erddrehung auftritt, gestreckt wird.

Für verschiedene Werte von \(\varphi_0\), was den Anfangswinkel der Geschwindigkeit darstellt, ändert sich die Orientierung der anfänglichen Bewegungsrichtung. Das wiederum führt zu unterschiedlichen Trajektorien auf der rotierenden Erdoberfläche. Zyklone (Tiefdruckgebiete) und Antizyklone (Hochdruckgebiete) folgen dieser Bewegung in der Atmosphäre, was zeigt, dass Tiefdruckgebiete auf der Nordhalbkugel gegen den Uhrzeigersinn und auf der Südhalbkugel im Uhrzeigersinn rotieren. Umgekehrt drehen Hochdruckgebiete auf der Nordhalbkugel im Uhrzeigersinn und auf der Südhalbkugel gegen den Uhrzeigersinn. Dieses Phänomen wird durch die Coriolis-Kraft verursacht, welche die Bewegungsrichtung von Massen auf einer rotierenden Oberfläche, wie der Erde, ablenkt.