DGL integrieren, freier Fall

Question

Ich muss die Differentialgleichung für den freien Fall auf der rotierenden Erde integrieren (Gleichung (214) mit \( \vec{F}_{s}^{\prime}=\overrightarrow{0} \) ) mit den Anfangsbedingungen

\( \left(\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(0) \\ x_{2}^{\prime}(0) \\ x_{3}^{\prime}(0) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} r_{0} \cos \beta \\ 0 \\ r_{0} \sin \beta \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l} \dot{x}_{1}^{\prime}(0) \\ \dot{x}_{2}^{\prime}(0) \\ \dot{x}_{3}^{\prime}(0) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)

Wisst ihr, in welche Richtung ein Stein weicht, den man am Äquator in einen tiefen Brunnen fallen lässt, von der Vertikalen ab und wie groß ist diese Abweichung nach zehn Sekunden Fallzeit?


Gleichung (214)

\( m \frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(\begin{array}{l}x_{1}^{\prime} \\ x_{2}^{\prime} \\ x_{3}^{\prime}\end{array}\right)=\vec{F}_{s}^{\prime}+m g\left(\begin{array}{c}-\cos \beta \\ 0 \\ -\sin \beta\end{array}\right)+2 m \omega\left(\begin{array}{c}d x_{2}^{\prime} / d t \\ -d x_{1}^{\prime} / d t \\ 0\end{array}\right) \)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: DGL integrieren, freier Fall

Stichworte: fall,freier,differentialgleichungen

Moin Leute, ich muss die Differentialgleichung für den freien Fall auf der rotierenden Erde integrieren (Gleichung (214) mit \( \vec{F}_{s}^{\prime}=\overrightarrow{0} \) ) mit den Anfangsbedingungen
\( \left(\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(0) \\ x_{2}^{\prime}(0) \\ x_{3}^{\prime}(0) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} r_{0} \cos \beta \\ 0 \\ r_{0} \sin \beta \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l} \dot{x}_{1}^{\prime}(0) \\ \dot{x}_{2}^{\prime}(0) \\ \dot{x}_{3}^{\prime}(0) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)
Wisst ihr, in welche Richtung ein Stein weicht, den man am Äquator in einen tiefen Brunnen fallen lässt, von der Vertikalen ab und wie groß ist diese Abweichung nach zehn Sekunden Fallzeit?

Ich danke euch im Voraus!

Gleichung (214)

\( m \frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(\begin{array}{l}x_{1}^{\prime} \\ x_{2}^{\prime} \\ x_{3}^{\prime}\end{array}\right)=\vec{F}_{s}^{\prime}+m g\left(\begin{array}{c}-\cos \beta \\ 0 \\ -\sin \beta\end{array}\right)+2 m \omega\left(\begin{array}{c}d x_{2}^{\prime} / d t \\ -d x_{1}^{\prime} / d t \\ 0\end{array}\right) \)

---

Vom Duplikat:

Titel: Wisst ihr, in welche Richtung ein Stein weicht, den man am Äquator in einen tiefen Brunnen fallen lässt, von der …

Stichworte: fall,physik,energieerhaltung

Moin Leute, ich muss die Differentialgleichung für den freien Fall auf der rotierenden Erde integrieren (Gleichung (214) mit \( \vec{F}_{s}^{\prime}=\overrightarrow{0} \) ) mit den Anfangsbedingungen
\( \left(\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(0) \\ x_{2}^{\prime}(0) \\ x_{3}^{\prime}(0) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} r_{0} \cos \beta \\ 0 \\ r_{0} \sin \beta \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l} \dot{x}_{1}^{\prime}(0) \\ \dot{x}_{2}^{\prime}(0) \\ \dot{x}_{3}^{\prime}(0) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)
Wisst ihr, in welche Richtung ein Stein weicht, den man am Äquator in einen tiefen Brunnen fallen lässt, von der Vertikalen ab und wie groß ist diese Abweichung nach zehn Sekunden Fallzeit?

Ich danke euch im Voraus!

Gleichung (214)

\( m \frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(\begin{array}{l}x_{1}^{\prime} \\ x_{2}^{\prime} \\ x_{3}^{\prime}\end{array}\right)=\vec{F}_{s}^{\prime}+m g\left(\begin{array}{c}-\cos \beta \\ 0 \\ -\sin \beta\end{array}\right)+2 m \omega\left(\begin{array}{c}d x_{2}^{\prime} / d t \\ -d x_{1}^{\prime} / d t \\ 0\end{array}\right) \)

Answer 1

Die Rotationsgeschwindigkeit der Erde beträgt $$  \Omega = \frac{2 \pi}{24 \cdot 3600 } \frac{1}{s} $$ Die Ostabweichung berechnet sich nach $$ x = \frac{1}{3} \Omega t^3 \sin(\theta) $$ Am Äquator ist \( \theta = 90° \) und die Fallzeit soll ja \( t = 10 \) Sekunden sein.

Damit ergibt sich eine Ostabweichung von 24.48 cm.