Bewegungsgleichungen - Wo steckt der Fehler?

Question

Damit sich ein paar Leute mehr mit dieser Frage beschäftigen können
stelle ich die Frage als neue Frage wieder ein.

Bei einer bereits eingestellten Frage erhalte ich verschiedene
Ergebnisse.

Originalfrage

2 autos fahren mit 27,78 m/s hintereinander. der abstand beträgt 15m.
plötzlich bremst das erste auto mit -5 m/s2. das zweite auto
braucht eine schrecksekunde bevor es auch anfängt zu bremsen.
nun lautet die frage mit welcher beschleunigung muss der zweite
fahrer mindestens bremsen um nicht aufzufahren? 

Die v / t Diagramme

Ich rechne zunächst einmal die Zeit für das Abbremsen des 1.Autos aus
v = a * t
27.78  = 5 * t
t = 5.556 sec

s = 1/2 * a  * t2
s = 1/2 * a * 5.5562
s = 77.17 m

oder
s = v0 * t / 2
s = 27.78 * 5.556 / 2
s = 77.17 m

Weg des 2.Autos bis zum Stillstand : ( Vorsprung miteingerechnet )
77.17 + 15 = 92.17 m

2.Auto
s = 27.78 m/s * 1  sec + 1/2 * a * ( 5.556 -1 )^2 = 92.17
a = 6.2 m/sec^2

Wenn ich allerding die Verzögerung ausrechne
( siehe Skizze oben )
a = 27.78 / ( 5.556 - 1 )
erhalte ich
a = 6.1 m/sec^2

Woher kommt der Unterschied ? Irgendwo steckt noch ein Fehler.

Comments

Ist die Länge des 1. Autos in der Berechnung mit dabei? 

---

Die Wagenlänge dürfte keine Rolle spielen.

Es handelt sich nicht um einen Überholvorgang oder ähnliches.

15 m ist der Abstand zwischen hinterer Stoßstange 1.Auto und
vorderer Stoßstange 2.Auto. Diesen gilt es zu überbrücken.

---

Ich habe mir die lange Antwort und die Kommentare nicht durchgelesen, von daher falls das Thema geklärt ist, kann meine Frage ruhig ignoriert werden. Falls nicht: Wie kommst du darauf, dass

$$s = \frac{v_0 \cdot t}{2}$$

in der 11. Zeile gilt?

---

Hallo Yukawah,

Nein Das Thema ist noch nicht geklärt.

In meinem Kopf befindet sich der Satz : Abremsen und Beschleunigen
sind symmetrische Vorgänge sofern a für beides gilt.

Beispiel : ein Körper wird senkrecht nach oben geworfen.
v0 ist bekannt.. g ist bekannt. s und t bis zum Hochpunkt können
berechnet werden.
Das Herunterfallen dürfe doch die gleiche Zeit beanspruchen
und dieselbe Endgeschwindigkeit hervorrufen.

Die Formel würde lauten
s = v0 * t - 1/2 * g * t^2

Dies ist eine Parabelfunktion welche symmetrisch ist.

Für gleichförmig beschleunigte Bewegungen gilt doch
( da die Geschwindigkeit  linear anwächst )
s = ( v ( anfang )+ v(ende) ) / 2 * t

mfg Georg

---

Vorweg: Keine Ahnung, ob das Folgende irgendetwas zur Klärung beitragen kann. 

Du meinst so: 

v = a*t

s = ∫_(to)^{t1} a * t dt

= 1/2 at^2     |_(to)^t1

= 1/2 at1^2  - 1/2 ato^2          / v=a*t

= 1/2 v1 * t1 - 1/2 vo * to          | wenn nun  vo Null ist, ist das to unbedeutend? 

= 1/2 v1 * t1   ? 

Warum rundest du? Bist du sicher, dass es nicht einfach ein Rundungsfehler ist? 

Lass dir das mal von Wolframalpha mit exakten Zahlen durchrechnen. 

Gedankenexperiment: 

Wenn der Hintere ja schneller unterwegs und stärker bremst, fährt er möglicherweise schon auf bevor der Vordere steht? Da ist es danach ziemlich egal, ob der Zweite mehr verzögert und bis zum Stand dann wieder exakt hinter dem andern wäre. 

---

Hallo Lu,

die Berechnung des Bewegungsvorgangs für das 2.Auto hat sich geändert.
( siehe unten ).
Der exakte Wert für die notwendige Verzögerung ist
a = 5.990502736 m/s²

Dies ist der erste Berührpunkt der beiden Autos.
Davor prallen sie nicht aufeinander.
( Den Fall hatten wir auch schon einmal ).

Schöne Grüße.
Falls du mir einen Gefallen tun willst :
es wäre schön du würdest zur endgültigen Klärung der Frage beitragen.

Georg

Answer 1

t=v/a=2778/500=5.556s 
a=v²/(2s)
s=v²/(2a)=a*t²/2
s1=27.78²/10=5*5.556²/2=77.17284=77.17284 m

s2=77.17284+15=92.17284 m

...bis hier noch alles gleich.

"um nicht aufzufahren" muss als "selber Ankunftsort" und nicht als "selbe Ankunftszeit" interpretiert werden:
also
a=v²/(2s)=27.78²/(92.17284-27.78)/2=5.9923463540356350178...m/s² 

(natürlich wollen Lehrer immer eine Rundung und das Auto hat ja auch noch Länge...)

Bremszeit ist auf 2 Wegen berechenbar:
a) 

t=sqrt(2s/a)=sqrt(2(92.17284-27.78)/5.992346354035635)

=4.6359136069114470842 s 

b)
t=v/a=27.78/5.9923463540356350178                         

=4.6359136069114470842 s 

(und nicht wie bei Dir angenommen 5.556 -1=4.556s !
; kann man bei jedem Stauende beobachten, dass der hintere immer etwas später ankommt, auch wenn er noch so dicht auffährt) 

Comments

Nunmehr meine ich folgendes

v = 27.78
a = 5
t = 5.556
s = 77.17 m
Vom Startpunkt des 2.Autos betrachtet
s = 77.17 + 15 = 92.17 m
zur Verfügung stehender Weg.

s = v * t - 1/2 * a * ( t -1 )^2
s = 27.78 * 5.556  -  1/2 * a * ( 5.556 -1 )^2 = 92.17
a = 5.99 m / s^2

Mit dieser Verzögerung treffen sich beide Autos
zeit- und ortsgleich.

---

Falsch:

Mit Deiner "Rundungsliebe" verbiegst Du die exakte Wissenschaft!

Ich rechne nicht aus "Lust" mit so vielen Nachkommastellen, sondern weil man damit sofort Fehler erkennt.

Durch geeignetes Auf- & Abrunden kann man leicht was "hinbiegen"... aber hier ist die Ankunftszeit nun mal nicht exakt gleich!

Um das zu verdeutlichen das ganze mit ganzen Zahlen (somit ohne Rundungsfehler):

mit 2s Schreck (statt 1s)

a1=4 m/s² (statt 5 m/s²)

v=20 m/s (statt 27,78 m/s )

Abstand=10m (statt 15m)

1. Auto: t1=v/a=20/4=5s ( statt 5.556s )

s1=v²/(2a)=20²/8=50m (statt 77.17284 m)

a=20²/((20²/(2*4)+10)-20*2)/2=10m/s²

Bremszeit nach den 2s Schreck:

a)  

t=sqrt(2s/a)=sqrt(2(50+10-20*2)/10)

=2s

b)

t=v/a=20/10=2s (beide gleich, also Physik OK)

2. Auto: t2=2+2=4 s (1s kürzer als das 1.)

(hier müssten die Autos jedoch nebeneinander fahren, da durch die doppelt lange "Schrecksekunde" ein Überholvorgang stattfindet. Der Endpunkt ist jedoch der selbe.

Ich könnte auch noch ein anderes Zahlenbeispiel basteln, wo es nicht zum Überholen kommt aber auch wieder die Zeit am gemeinsamen Endpunkt unterschiedlich ist!)

#

Deine falsche Rechnung ergäbe:

s = 27.78 * 5.556 -1/2 * a *( 5.556 -1 )^2 = 92.17  (alte Rechnung zu stark gerundet)

s = 20*2  * 5     -1/2 * a *(5-2)² =50+10

a=280/9=31.1111...m/s²

nun klarer, dass diese Physik nicht stimmen kann?

---

Hallo HyperG,

vielen Dank für deine ausführlichen Berechnungen.

ich habe meine Berechnungen ( unter Nunmehr meine ich folgendes )
jedoch von einem  Mathprogramm durchführen lassen

Der vorletzte Wert 5.99...  ist die Verzögerung a2 des 2.Autos:

Die letze Zeile ist quasi nochmals die Probe.

mfg Georg

---

Wichtig sind 2 Erkenntnisse:

a) die Formel

s = v * t - 1/2 * a * ( t -1 )^2 ist in doppelter Hinsicht falsch:

- das vordere t sind nicht die t1=5.556s vom 1. Auto, sondern die 1 s Verzögerung (also besser t_s)

- der hintere Wegteil, der das Auto während der gleichmäßigen negativen Beschleunigung zurücklegt, darf keine Zeit vorgeben,

da man die Zeit, die das Auto bis zum Endpunkt braucht noch nicht kennt!

richtig ist

s = v * t_s - v²/(2a) = 92.17284

27.78* 1 - 27.78²/(2a) = 92.17284

a=-5.9923463540356350178...m/s² (negative Beschleunigung ist exakter für "Bremsen")

b) die Probe darf man nicht mit der selben Formel machen, die falsch sein kann:

sonnst könnte man auch jede Formel z.B. mit "hoch 3" als gültige Probe ansehen:

27.78 * 5.556 -1/2 * a *( 5.556 -1 )^3 = 92.17 ergibt

a=1.31492

27.78 * 5.556 -1/2 * 1.31492*( 5.556 -1 )^3=92.17

---

Ich bleibe zunächst bei meiner Einschätzung bzw korrigiere
diese leicht.  Erreichbar soll ein ort- und zeitgleiches Treffen sein.

v = 27.78
a = 5
t = 5.556
s = 77.17 m
Vom Startpunkt des 2.Autos betrachtet
s = 77.17 + 15 = 92.17 m
zur Verfügung stehender Weg. in 5.556 sec.

jetzt ziehe ich den Weg in der 1 sec mit 27.78 m ab

s = 92.17 - 27.78 = 64.39 m
t = 5.556 -1 = 4.556 sec

s = v * t - 1/2 * a * t²
s = 27.78 * 4.556  -  1/2 * a * 4.556² = 64.39 m
a = 5.990776377 m / s²

Es ergibt sich exakt derselbe Wert.

mfg Georg

---

http://www.gerdlamprecht.de/Weg-Zeit-Gesetz-Bremsen-Beschleunigung.htm

nun verstanden?

Bei Deiner Beschleunigung & Zeit-Vorgabe hätte das 2. Fzg. noch eine Geschwindigkeit am Endpunkt!

(Unfall) 

Mann könnte das auch als nichtlineare Knickpunktfunktion für v(t) interpretieren, was aber

- entweder keine gleichmäßige Beschleunigung mehr ist (Schlagartig auf a(t) auf 0 mit v > 0)

- oder am Endpunkt eine unendlich hohe Bremsbeschleunigung (damit v doch noch zu 0 wird) was aber physikalisch wegen der Trägheit & begrenzten Energie nicht möglich ist

Einzige Möglichkeit -> siehe dort im Bild unter a) und b) ...

---

Meinen oder deinen Fehler habe ich noch nicht entdeckt.

Ich schlage vor ich führe die Rechnung jetzt einmal Schritt für Schritt
vor. Bitte jeweils kommentieren ob es weiter gehen kann oder ein
Fehler vorhanden ist.

1.Auto
gegeben
v = 27.78
a = 5
berechnet
t = 5.556 sec
s = 77.17284 m

---

Letzter Versuch:

Integralrechnung ist uns beiden bekannt:

 -d.h. Weg s ist der Flächeninhalt, und der ist fest vorgegeben (Endpunkt=Treffpunkt)

- Punkt oben links ist fest: Anfangsgeschwindigkeit v

- Der Weg von oben links nach unten rechts ist eine Gerade, da a= konst

Also ergibt sich der Punkt rechts (Zeit t) automatisch!

Was Du versuchst, ist diesen Punkt vorzugeben, also weiter nach links zu bekommen!

Das geht aber nur, in dem die Seite von oben links nach unten rechts nicht mehr geradlinig ist:

(also mit nichtlinearen Funktionen wie:

- Knicken

- Bäuchen

usw. -> was dann aber keine konst. Beschleunigung a mehr ist!

---

ich mache einmal bei mir weiter

Vom Startpunkt des 2.Autos betrachtet
s = 77.17284 + 15 = 92.17284 m
zur Verfügung stehender Weg
in 5.556 sec.

jetzt ziehe ich den Weg in der 1 sec mit 27.78 m ab

s = 92.17284 - 27.78 = 64.39284 m
t = 5.556 -1 = 4.556 sec

Soweit ok ?

---

Dann noch den Schluß

s = v * t - 1/2 * a * t^2 = 64.39284
s = 27.78 * 4.556 - 1/2 * a * 4.556^2 = 64.39284
a = 5.990502736 m/s^2

Hier noch zwei Skizzen

und die Vergrößerung der Nullstelle

Die Schnittstelle ist genau bei 4.556 sec.
Der Bremsweg ist genau 64.39284 m.

Ich kann bei mir keinen Fehler finden.

mfg Georg

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Dies hat zwar nichts mit der Frage zu tun und dient nur
zur Erheiterung  im grauen Alltag.

Praktischer Tip
Was kann man machen falls man vor einer Flugreise Angst hat im Flugzeug könnte
eine Bombe sein ?
Man nimmt auch eine Bombe mit.
Die Wahrscheinlichkeit dass 2 Bomben in einem Flugzeug sind ist
nahezu null.

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Ich kann bei mir keinen Fehler finden.

Dann lies dir den Aufgabentext durch und spar uns deine trolligen Beiträge.
Im Aufgabentext steht   " bremsen um nicht aufzufahren " !

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Dann lies dir den Aufgabentext durch und spar uns deine trolligen Beiträge.
Im Aufgabentext steht   " bremsen um nicht aufzufahren " !

Für wen sprichst du eigentlich ?

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Hallo Georg,

habe http://www.gerdlamprecht.de/Weg-Zeit-Gesetz-Bremsen-Beschleunigung.htm 

noch eine Zusammenfassung hinzugefügt.

Denkfehler §1 hast Du ja bereits eingesehen (Anfangsfrage mit |a| größer 6m/s² )

Denkfehler §2 hast Du immer noch:

Zwar haben wir die gleiche Wegstrecke bis zum Endpunkt...

ABER Du fängst immer wieder mit einer Vorgabe einer Zeit an, die aus einem anderen Zusammenhang (1. Auto) kommt, und mit einer gleichmäßigen Verzögerung bis v=0 nichts zu tun hat!

Wenn die Randbedingungen des Spezialfalles der Integration nicht eingehalten sind, darf man dieses Gesetz auch nicht anwenden,

was Du mit Deinen 2 Skizzen wieder tust.

In keinen Deiner Kommentare hast Du je auch nur daran gedacht, mal die Geschwindigkeit bei "Deiner Zeitvorgabe 4.556 s" mal genau nachzurechnen! Solange Du das weiter ignorierst, wird sich Denkfehler §2 nicht lösen.

Viel Erfolg.

---

Der erste Groschen ist bei mir gefallen.

Ich habe zeit- und ortgleich
s = 64.39284 m
t = 4.556 sec
berechnet ohne zu bedenken das die Geschwindigkeit  auch 0 sein muß.

2.Rechnung : Ort bleibt const aber die  Geschwindigkeit soll dort 0 sein
s = 64.39284 m
t = 4.6359 sec

Leider ist die Zeit zu hoch. Also den Ort aufgeben und
die Zeit mit 4.556 sec annehmen.

Geht morgen weiter.

---

Die Lösung 2 geht doch

Bedingungen
Der Ort ist derselbe:
Die Geschwindigkeit ( 1.Ableitung ) ist dort für beide 0
Die Zeit des 2.Autos kann gleich oder länger sein.

s = v0 * t - 1/2 * a * t²
s = 27.78 * 4.6359 - 1/2 * a * 4.6359²  = 64.39284
a = 5.9923 m/s^2

---

Noch einmal mein Fehler. Es gilt nicht
s1 = s2  und
t1 = t2

sondern
s1 = s2 und
v1 = v2 = 0 bei  64.39284  m

s ( t ) = v0 * t - 1/2 * a * t^2
s ´ ( t ) = v ( t ) = v0 - a * t

27.78* t - 1/2 * a * t^2 = 64.39284
27.78 - a * t  = 0
a = 27.78 / t
27.78* t - 1/2 * 27.78 / t  * t^2 = 64.39284
t = 4.6359 sec
a = 5.9924 m/s^2

Nachbemerkung : in meinem 1.Berufsleben habe ich einmal
Physiklaborant gelernt. Dort hat man es bei Berechnungen mit
Messgrößen zu tun. Messgrößen lassen sich meist nur auf
3 oder 4 Stellen genau ablesen und sind mit einer
Messungenauigkeit meist ± 2 % behaftet.
Hypergenaues berechnen war in diesem Zusammenhang
nicht möglich.

Gruß Georg

---

Super! 

Es war mir wichtig, dass die physikalische Formel stimmte und das alles nicht als Rundung der

"3. Nachkommastelle" abgetan wird (wie von Lu vermutet).

Auch ich habe mit dem Rechenschieber angefangen...

... habe mich dann über die Ungenauigkeiten von Taschenrechnern gewundert 

... und fand per PC interessante Nachkommastellen-Muster (in 10000 stelligen Zahlen):

http://www.gerdlamprecht.de/AlmostInteger.htm