Variation mit Nebenbedingung

Question

Hallo Leute mit folgender Aufgabe bin ich überfordert

Aufgabe:

Finden Sie eine Funktion y ∈ C² [0,π] mit y(0) = y( π ) = 0 , so dass das Funktional :
            
J [y] =  ∫ [ 2y(x) * sin(x) + y´(x)²] dx unter der Nebenbedingung

K [y] =  ∫  y(x) dx = 1

extremal wird   (Beide Integrale gehen von 0 bis π) .  Gehen Sie dazu folgendermaßen vor :

a.)    Führen Sie einen Lagrange Multiplikator λ zur Ankoppelung der Nebenbedingung ein und zeigen Sie, dass die Lösungsfunktion der Differentialgleichung y´´ = sin(x) - λ/2 genügt.

b.) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser DGL. Legen Sie anschließend die beiden Integrationskonstanten sowie den Wert von λ über die Randbedingung und die Nebenbedingung fest.

Problem/Ansatz:

Wie schon gesagt komme ich hier mit der Aufgabe nicht so klar aber so wie ich das verstanden habe soll ich in a.)
die Dgl  y´´ = sin(x) - λ/2 lösen ?

Homogener Ansatz : 
y´´ = -λ/2   

Charakteristisches Polynom ( ω ) bestimmen :

ω₁ = i  *√ ( λ /2) =  0 +  i  *√ ( λ /2)

ω₂ = - i  *√ ( λ /2) =  0 -  i  *√ ( λ /2) 

Homogene Lösung: 
y_hom = C₁ * e^(0*x) * cos (√ ( λ /2) *x) + C₂ *  e^(0*x) * sin (√ ( λ /2) *x)
         =  C₁ * cos (√ ( λ /2) *x) + C₂ * sin (√ ( λ /2) *x)

Inhomogene Lösung :

Ansatz : y_p = C3 * sin(x) +  + C4 * cos(x)  , da die Störfunktion einfach nur sin(x) ist.
              y´_p = C3 * cos(x) - C4 * sin(x)

             y´´_p = - C3 * sin(x) + C4 * cos(x)

In die Dgl einsetzen : 

-C3 * sin(x) + C4 *cos(x) + λ /2 = sin(x) . 

Und selbst hier komme ich nicht mehr weiter, da wir in diesem Schritt immer einen Koeffizentenvergleich hatten und so C3 und C4 bestimmen konnten und dann ist die Lösung y =  y_p + y_hom.


Stimmt es denn überhaupt dass ich hier die Dgl lösen soll ?  Und wie gehe ich vor wenn nicht ? 

Liebe Grüße

Answer 1

Hallo

 du kannst natürlich die Dgl lösen und dann zeigen dass die Lösung das Funktional maximiert.- allerdings ist die homogene Dgl  dann y''=0 und sin(x)-λ/2 der inhomogene Teil. Du kannst aber auch direkt y''(x)  2 mal integrieren, weil es ja keine "echte" Dgl ist.

Gruß lul

Comments

Hallo lul danke dir !

Dann hätte ich  :

y´´ = sin(x) - λ/2

y´ = - cos (x) - λ * x / 2 + c1

y = - sin(x) - λ * x² /4  + c 1* x + c2

es soll gelten y(0) = 0

=>  c2 = 0 

Ausserdem gilt : y(π ) = 0 

 -sin(π) - λ π² /4  + c1 * π = 0
<=> c1 * π = λ π² /4   
<=> c1 = λ π /4

Also 
y =  -sin(x) - λ x² /4 + λ π x /4   

Aus der Nebenbedingung K[y]  kann ich jetzt noch das Lambda bestimmen :

∫ (-sin(x) - λ x² /4 + λ π x /4  ) dx = 1    (Integral geht von 0 bis pi ) 
<=> cos(π ) -  λ π³/12 + λ π³/8 - cos(0) = 1 
<=> λ π³/24 = 3  
<=> λ  = 72 /π³

also y = -sin(x) - (72 /π³)  * (x² /4)  + (72 /π³) (π x /4)
 =   -sin(x) - (72 /π³)  * (x² /4)  + (72 /π²) ( x /4)


Was ich jetzt aber noch immer nicht verstanden habe wo und wie genau habe ich nun den Lagrange Multiplikator zur Ankoppelung eingeführt ?  Das hat doch die Aufgabenstellung gemacht mit y´´ = sin(x)-λ/2 .


Ausserdem habe ich nun ja auch irgendwie die b.) schon direkt mitgelöst oder nicht ?

Tut mir leid ich tue es mir heir gerade wahrscheinlich echt einfach nur schwerer als es ist.

Liebe Grüße 
Hans

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 du hast noch nicht gezeigt, dass das funktional maximiert wird, das machst du mit dem Lagrange Multiplikator, doch die Ableitungen nach x und lambda =o

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Hey

Also ich habe das mit dem Lagrange Multiplikator nicht ganz verstanden.

Ich soll einfach ein lambda zur Nebenbedingung multiplizieren und dann diese neue Funktion mit der zielfunktion addieren?

Danach 2 mal nach x ableiten und ganz normal extremstellen berechnen? Also nullstellen der 1. Ableitung rausfinden und diese nullstellen in 2. Ableitung einsetzen?

Wieso sagtest du denn Lambda = 0 das habe ich auch nicht ganz nachvollziehen können.

Liebe Grüße

Hans