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Kontinuitätsgleichung für eine zeitabhängige Dichte
Die Kontinuitätsgleichung in der Fluidmechanik lautet:
\(
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{u}) = 0
\)
Sie drückt die Massenerhaltung in einem Strömungsfeld aus. Wenn die Dichte \(\rho\) nur von der Zeit \(t\) abhängt (und nicht vom Ort), dann vereinfacht sich die Gleichung, da \(\rho\) beim Berechnen der Divergenz \(\nabla \cdot (\rho \vec{u})\) als eine Konstante in Bezug auf die räumliche Ableitung behandelt werden kann. Daher können wir \(\rho\) vor die Divergenz ziehen:
\(
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho \nabla \cdot \vec{u} = 0
\)
Nehmen wir nun an, dass das Geschwindigkeitsfeld \(\vec{u}\) gegeben ist, und wir interessieren uns für die zeitliche Änderung von \(\rho(t)\). Da \(\nabla \cdot \vec{u}\) eine Funktion des Ortes (und möglicherweise der Zeit) ist, aber \(\rho\) nur von der Zeit abhängt, können wir diese Gleichung weiter vereinfachen, indem wir annehmen, dass \(\nabla \cdot \vec{u} = f(t)\), eine Funktion der Zeit ist:
\(
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho f(t) = 0
\)
Jetzt lässt sich diese Gleichung als eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung betrachten:
\(
\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\rho f(t)
\)
Um diese Differentialgleichung zu lösen, verwenden wir die Methode der Trennung der Variablen. Wir bringen alle Terme mit \(\rho\) auf eine Seite und jene mit \(t\) auf die andere:
\(
\frac{1}{\rho} \partial \rho = -f(t) \partial t
\)
Integrieren wir beide Seiten, erhalten wir:
\(
\ln(\rho) = -\int f(t) dt + C
\)
wobei \(C\) eine Integrationskonstante ist. Um von \(\ln(\rho)\) zu \(\rho\) zu kommen, exponentieren wir beide Seiten:
\(
\rho = \exp\left(-\int f(t) dt + C\right)
\)
Da \(\exp(C)\) nur eine Konstante ist, können wir sie durch \(C'\) ersetzen:
\(
\rho = C' \exp\left(-\int f(t) dt\right)
\)
Für jede konkrete Form von \(f(t)\), das heißt, für jedes gegebene Geschwindigkeitsfeld \(\vec{u}\) welches die Divergenz \(f(t)\) bestimmt, können wir nun \(\rho(t)\) durch Ausführen des entsprechenden Integrals bestimmen.
Zum Schluss, die spezifische Lösung hängt stark von der Form von \(f(t)\) ab. Falls wir eine Anfangsbedingung gegeben haben, wie \(\rho(t=0) = \rho_0\), können wir die Konstante \(C'\) auch explizit bestimmen:
\(
C' = \rho_0 / \exp\left(-\int_{0}^{t_0} f(t) dt\right)
\)
Dieser letzte Schritt ermöglicht die Bestimmung der eindeutigen Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung unter der gegebenen Anfangsbedingung.
