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Aufgabe:

Unter der Verwendung der Einstein'schen Summenkonvention berechnen Sie die Formel ϵilmϵjlm.

Was bekommen Sie als Resultat?

Mein Ergebnis 3δij unten der Rechenweg ist das richtig so?


Problem/Ansatz:

1. Schritt
ϵilmϵjlm = ϵi11ϵj11 + ϵi12ϵj12 + ϵi13ϵj13 + ϵi21ϵj21 + ϵi22ϵj22 + ϵi23ϵj23 + ϵi31ϵj31 + ϵi32ϵj32 + ϵi33ϵj33
2. Schritt
ϵi11ϵj11 = δijδ11δ11
ϵi12ϵj12 = δijδ12δ12
ϵi13ϵj13 = δijδ13δ13
ϵi21ϵj21 = δijδ21δ21
ϵi22ϵj22 = δijδ22δ22
ϵi23ϵj23 = δijδ23δ23
ϵi31ϵj31 = δijδ31δ31
ϵi32ϵj32 = δijδ32δ32
ϵi33ϵj33 = δijδ33δ33
3. Schritt
ϵi11ϵj11 = δij
ϵi12ϵj12 = 0 (da δ12 = 0, da i ≠ j)
ϵi13ϵj13 = 0 (da δ13 = 0, da i ≠ j)
ϵi21ϵj21 = 0 (da δ21 = 0, da i ≠ j)
ϵi22ϵj22 = δij
ϵi23ϵj23 = 0 (da δ23 = 0, da i ≠ j)
ϵi31ϵj31 = 0 (da δ31 = 0, da i ≠ j)
ϵi32ϵj32 = 0 (da δ32 = 0, da i ≠ j)
ϵi33ϵj33 = δij
4. Schritt
ϵilmϵjlm = δij + δij + δij =3δij

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Erklärung der Einstein'schen Summenkonvention und Berechnung von \( \epsilon_{ilm}\epsilon_{jlm} \)

Die Einstein'sche Summenkonvention ist eine Kurzschreibweise in der Tensorrechnung, bei der über doppelt vorkommende Indizes summiert wird, ohne das Summenzeichen explizit zu schreiben. Die hier behandelte Aufgabe bezieht sich auf die Berechnung des Produkts von zwei Levi-Civita-Symbolen \( \epsilon_{ilm}\) und \( \epsilon_{jlm} \), unter Verwendung dieser Konvention.

Das Levi-Civita-Symbol, auch total antisymmetrischer Tensor genannt, ist definiert als
- \( \epsilon_{ijk} = 1 \), wenn \( (i, j, k) \) eine gerade Permutation von \( (1, 2, 3) \) ist,
- \( \epsilon_{ijk} = -1 \), wenn \( (i, j, k) \) eine ungerade Permutation von \( (1, 2, 3) \) ist,
- \( \epsilon_{ijk} = 0 \), wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.

Berechnungsschritte

1. Ansatz:
\( \epsilon_{ilm}\epsilon_{jlm} \)

Nach der Konvention summiert man über den Index l und m, was eine Summe über alle möglichen Kombinationen der Indizes \(l\) und \(m\) ergibt, mit \(l, m = 1, 2, 3\).

2. Berechnung mittels Levi-Civita-Eigenschaften:
Der Ausdruck \( \epsilon_{ilm}\epsilon_{jlm} \) kann auch interpretiert werden als die Determinante einer Matrix, die aus den Kronecker-Deltas zusammengesetzt ist. Die Regel, die hier zur Anwendung kommt, ist dass das Produkt zweier Levi-Civita-Symbole zu einer Summe von Produkten von drei Kronecker-Deltas führt:
\( \epsilon_{ilm}\epsilon_{jlm} = \delta_{ij}\delta_{ll} - \delta_{il}\delta_{jl} \)

Dies bedeutet jedoch nicht, wie im Problemansatz suggeriert, dass jede einzelne Berechnung zu einem Kronecker-Delta \( \delta_{ij} \) führt. Stattdessen zeigt es, dass das Ergebnis von der relativen Position der Indizes abhängt.

3. Korrektes Ergebnis:
Die korrekte Auswertung unter Verwendung der Eigenschaften des Levi-Civita-Symbols und des Kronecker-Deltas führt auf:
\( \epsilon_{ilm}\epsilon_{jlm} = \delta_{ij}\delta_{mm} - \delta_{im}\delta_{jm} \)

Da \( \delta_{mm} = 3 \) (weil \( \delta_{11} = \delta_{22} = \delta_{33} = 1 \) und \( \delta_{ij} = 0 \) für \( i \neq j \)), vereinfacht sich der Ausdruck zu:
\( \epsilon_{ilm}\epsilon_{jlm} = 2\delta_{ij} \)

4. Schlussfolgerung:
Die initiale Behauptung, \( \epsilon_{ilm}\epsilon_{jlm} = 3\delta_{ij} \), ist also nicht korrekt. Richtig ist, unter Berücksichtigung der hier genannten Korrekturen und der Eigenschaften des Levi-Civita-Symbols und des Kronecker-Delta, dass das Resultat \( 2\delta_{ij} \) lautet.

Der Fehler im ursprünglichen Rechenweg scheint in einem Missverständnis in der Anwendung der Regeln für das Produkt von Levi-Civita-Symbolen und der Interpretation der Kronecker-Delta-Funktion zu liegen.
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