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Erklärung der Einstein'schen Summenkonvention und Berechnung von \( \epsilon_{ilm}\epsilon_{jlm} \)
Die Einstein'sche Summenkonvention ist eine Kurzschreibweise in der Tensorrechnung, bei der über doppelt vorkommende Indizes summiert wird, ohne das Summenzeichen explizit zu schreiben. Die hier behandelte Aufgabe bezieht sich auf die Berechnung des Produkts von zwei Levi-Civita-Symbolen \( \epsilon_{ilm}\) und \( \epsilon_{jlm} \), unter Verwendung dieser Konvention.
Das Levi-Civita-Symbol, auch total antisymmetrischer Tensor genannt, ist definiert als
- \( \epsilon_{ijk} = 1 \), wenn \( (i, j, k) \) eine gerade Permutation von \( (1, 2, 3) \) ist,
- \( \epsilon_{ijk} = -1 \), wenn \( (i, j, k) \) eine ungerade Permutation von \( (1, 2, 3) \) ist,
- \( \epsilon_{ijk} = 0 \), wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.
Berechnungsschritte
1.
Ansatz:
\( \epsilon_{ilm}\epsilon_{jlm} \)
Nach der Konvention summiert man über den Index l und m, was eine Summe über alle möglichen Kombinationen der Indizes \(l\) und \(m\) ergibt, mit \(l, m = 1, 2, 3\).
2.
Berechnung mittels Levi-Civita-Eigenschaften:
Der Ausdruck \( \epsilon_{ilm}\epsilon_{jlm} \) kann auch interpretiert werden als die Determinante einer Matrix, die aus den Kronecker-Deltas zusammengesetzt ist. Die Regel, die hier zur Anwendung kommt, ist dass das Produkt zweier Levi-Civita-Symbole zu einer Summe von Produkten von drei Kronecker-Deltas führt:
\( \epsilon_{ilm}\epsilon_{jlm} = \delta_{ij}\delta_{ll} - \delta_{il}\delta_{jl} \)
Dies bedeutet jedoch nicht, wie im Problemansatz suggeriert, dass jede einzelne Berechnung zu einem Kronecker-Delta \( \delta_{ij} \) führt. Stattdessen zeigt es, dass das Ergebnis von der relativen Position der Indizes abhängt.
3.
Korrektes Ergebnis:
Die korrekte Auswertung unter Verwendung der Eigenschaften des Levi-Civita-Symbols und des Kronecker-Deltas führt auf:
\( \epsilon_{ilm}\epsilon_{jlm} = \delta_{ij}\delta_{mm} - \delta_{im}\delta_{jm} \)
Da \( \delta_{mm} = 3 \) (weil \( \delta_{11} = \delta_{22} = \delta_{33} = 1 \) und \( \delta_{ij} = 0 \) für \( i \neq j \)), vereinfacht sich der Ausdruck zu:
\( \epsilon_{ilm}\epsilon_{jlm} = 2\delta_{ij} \)
4.
Schlussfolgerung:
Die initiale Behauptung, \( \epsilon_{ilm}\epsilon_{jlm} = 3\delta_{ij} \), ist also nicht korrekt. Richtig ist, unter Berücksichtigung der hier genannten Korrekturen und der Eigenschaften des Levi-Civita-Symbols und des Kronecker-Delta, dass das Resultat \( 2\delta_{ij} \) lautet.
Der Fehler im ursprünglichen Rechenweg scheint in einem Missverständnis in der Anwendung der Regeln für das Produkt von Levi-Civita-Symbolen und der Interpretation der Kronecker-Delta-Funktion zu liegen.
