Für welche Werte der Konstanten wird durch die homogene Differentialgleichung KEINE Schwingung mit Reibung beschrieben?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist ein harmonischer Oszillator mit Reibung und äußerer Anregung, der durch die inhomogene Differentialgleichung
\( \ddot{x}(t)+2 \beta \dot{x}(t)+\omega^{2} x(t)=F(t) \)
beschrieben wird. Wir benutzen dimensionslose Einheiten.

Für welche Werte der Konstanten \( \beta \) und \( \omega \) wird durch die zugehörige homogene Differentialgleichung keine Schwingung mit physikalischer Reibung beschrieben?
\( \square \quad \beta=-1,4 \) und \( \omega=1,4 \)
\( \square \quad \beta=2,4 \) und \( \omega=-0,6 \)
\( \square \quad \beta=0,4 \) und \( \omega=-2 \)
\( \square \quad \beta=3,7 \) und \( \omega=-1,6 \)
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Problem/Ansatz:

Ich hätte β= -1,4 und ω=1,4, β=2,4 und ω= -0,6 und β=3,7 und ω= -1,6 angekreuzt. Meiner Meinung nach stellt nur die 3. Möglichkeit eine Schwingung dar. Bevor ich das aber abgebe, würde ich mich gerne vergewissern, ob das so stimmt.

Comments

Hi, ich hätte so eine änliche Aufgabe und ich würd gern wissen wie du das ausgerechnet hast, dass genau die keine bzw eine oszillatorische Schwingung haben. Ich weiß nämlich grad nicht wie ich da anfangen soll zu rechnen.

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Die Eigenwerte der zugehörigen Dgl. lauten $$ \lambda_{1,2} = -\beta \pm \sqrt{\beta^2 - \omega^2}  $$

Abhängig von der Diskriminante ergen sich folgende Fälle

(1) \( \beta^2 > \omega^2 \) aperiodische Bewegung

(2) \( \beta = \omega \) aperiodischer Grenzfall

(3) \( \beta^2 < \omega^2 \) Gedämpfte Schwingung

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Vielen Dank!

Answer 1

Du hast recht, nur Fall 3 stellt eine Schwingung dar.

Comments

Wieso ist das der einzige Fall, in dem eine Schwingung vorherrscht?