gedämpfter harmonischer Oszillator Formel

Question

Ich lerne gerade den gedämpften harmonischen Oszillator. beim aperiodischen Grenzfall gilt, dass die Eigenfrequenz betragsmäßig gleichgroß wie die Dämpfung ist. Das bedeutet, dass wenn man die Bewegungsgleichung

x'' + 2yx'+ω²x=0   mit dem Exp.-Ansatz lösen möchte nur eine Lösung für y bekommt. Daraus müsste dann meiner Meinung nach die Lösung folgen

x(t)   = a₁ e^-yt + a₂ e^-yt   =  (a₁ + a₂) e^-yt

Im Skript steht jedoch: ( a₁ + t*a₂) e^-yt  

Kann mir jemand erklären woher der Faktor t bei a₂ kommt? Ich dachte a₁ und a₂ wären konstante Anfangsbedingungen

Answer 1

Hallo

weder die eine noch die andere Lösung haben was mit der gegebenen Differentialgleichung zu tun.

Du löst die Dgl x'+γx=0  was du mit dem Exponentialansatz gemacht hast? du hast doch eine quadratischeGleichung für λ?  mit a1+a1=a auch trotz Dgl 2. Ordnung nur eine Konstante.

die andere Lösung ist für x''+2γx'=0 also auch nicht für die angegebene Dgl? wohin ist das ω^2 verschwunden ?

lul

Comments

Genau, mit dem Exponentialansatz erhalte ich eine quadratische Gleichung

λ_1/2 = -y ±√(y²-ω²)    da y² = ω²  folgt λ₁=λ₂ = -y   setzte ich das nun in die allgemeine Lösung ( x(t)=a₁e^t*λ1 + a₂e^t*λ2 )  ein ergibt sich x(t)= e^-yt(a₁+a₂)   aber warum steht dann im Skript noch ein Faktor t dabei?