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Teil A: Beweis der Orthogonalität der Bewegungsrichtung nach dem Stoß
Um zu beweisen, dass die Bewegungsrichtungen der Kugeln nach dem Stoß zueinander orthogonal sind, betrachten wir die physikalischen Gesetze, die während eines elastischen Stoßes zwischen zwei Kugeln gelten. Ein elastischer Stoß ist dadurch charakterisiert, dass sowohl der Impuls als auch die kinetische Energie des Systems erhalten bleiben.
Wir legen ein Koordinatensystem so, dass die \(x\)-Achse entlang der ursprünglichen Bewegungsrichtung der bewegten Kugel liegt. Die ruhende Kugel wird genau dann von der bewegten Kugel getroffen, wenn der Abstand zwischen ihren Mittelpunkten genau \(2r\) entspricht, da beide Kugeln den Radius \(r\) haben.
Da es keinen Energieverlust gibt (elastischer Stoß), können wir zwei Erhaltungssätze anwenden:
1.
Impulserhaltung:
Für die \(x\)-Komponente (da sich die zweite Kugel ursprünglich in Ruhe befindet und die Impulserhaltung in der \(y\)-Richtung separat betrachtet werden muss, weil da vor dem Stoß kein Impuls vorhanden war):
\(
m \cdot v_1 = m \cdot v_{1x} + m \cdot v_{2x}
\)
\(m\) kürzt sich heraus und wir erhalten \(v_1 = v_{1x} + v_{2x}\).
Da es in der \(y\)-Richtung vor dem Stoß keinen Impuls gibt, muss der Gesamtimpuls in dieser Richtung nach dem Stoß null sein:
\(
v_{1y} = -v_{2y}
\)
2.
Kinetische Energieerhaltung:
Vor dem Stoß ist die gesamte kinetische Energie im System:
\(
KE_{\text{vor}} = \frac{1}{2} m v_1^2
\)
Nach dem Stoß:
\(
KE_{\text{nach}} = \frac{1}{2} m v_{1x}^2 + \frac{1}{2} m v_{1y}^2 + \frac{1}{2} m v_{2x}^2 + \frac{1}{2} m v_{2y}^2
\)
Da die kinetische Energie erhalten bleibt, gilt:
\(
v_1^2 = v_{1x}^2 + v_{1y}^2 + v_{2x}^2 + v_{2y}^2
\)
Aus der Geometrie des Stoßes ergibt sich, dass der Stoßpunkt der Linie liegt, welche die beiden Mittelpunkte im Moment des Stoßes verbindet. Für einen vollkommen elastischen Stoß sind die Bewegungsrichtungen nach dem Stoß entlang der Tangente und der Normalen dieser Linie. Da die Kugel ruhte, wird ihre Bewegung genau entlang dieser Normalen sein und die Bewegung der ersten Kugel wird entlang und orthogonal dazu sein. Dies bedeutet, dass ihre Bewegungsrichtungen zueinander orthogonal sind.
Teil B: Skizzierung und Bestimmung der Winkel und Geschwindigkeitsvektoren
Zunächst skizzieren wir die Situation zum Zeitpunkt des Stoßes:
- Die Kugeln berühren sich, und der Stoßpunkt liegt auf einer Linie, die ihre Mittelpunkte verbindet.
- Da \(r = 3\,cm\) und \(a = 5\,cm\), können wir ein rechtwinkliges Dreieck bilden, wobei die Hypotenuse \(2r = 6\,cm\) und eine Kathete \(a = 5\,cm\) ist. Die andere Kathete ist die kürzeste Distanz zwischen der Bewegungsrichtung der Kugel 1 und dem Mittelpunkt der Kugel 2.
Um den Winkel \(\theta\) zu bestimmen, unter dem sich die Kugeln nach dem Stoß bewegen, verwenden wir den Satz des Pythagoras, um die Länge der anderen Kathete \(b\), welche die kürzeste Distanz ist, zu berechnen:
\(
b = \sqrt{(2r)^2 - a^2} = \sqrt{6^2 - 5^2} = \sqrt{36 - 25} = \sqrt{11} \approx 3.32\,cm
\)
Der Winkel \(\theta\), unter dem sich die Kugeln nach dem Stoß bewegen, kann mit Hilfe des Tangens berechnet werden:
\(
\tan(\theta) = \frac{a}{b} = \frac{5}{3.32}
\)
\(\theta = \tan^{-1}(\frac{5}{3.32}) \approx 56.31^\circ\)
Da die Bewegungsrichtungen orthogonal zueinander sind, bewegt sich eine Kugel entlang der ursprünglichen Bewegungsrichtung (\(v_{1x}\)) und die andere orthogonal dazu.
Um die Geschwindigkeitsvektoren der Kugeln nach dem Stoß zu berechnen, müssen wir die Komponenten der Geschwindigkeit kennen. Die genaue Berechnung hängt von der Massenverteilung und dem exakten Impulsübertrag ab, was ohne zusätzliche Informationen schwierig ist. Jedoch liegt unter der Annahme eines perfekt elastischen Stoßes und identischer Massen der Fokus darauf, dass der Impuls und die kinetische Energie erhalten bleiben. Für spezifische Geschwindigkeitsbeträge nach dem Stoß benötigen wir Informationen über die Übertragungseffizienz oder wir verwenden vereinfachte Annahmen über den Energie- und Impulsübertrag. Basierend auf dem Erhaltungssatz und ohne Reibung würde die ursprüngliche Geschwindigkeit \(v_1\) auf die beiden Kugeln entsprechend ihrer Bewegungsrichtung aufgeteilt, wobei Details nach den oben genannten Erhaltungssätzen berechnet werden müssten.
