Gedämpfter harmonischer Oszillator

Question

Aufgabe: Gedämpfter harmonischer Oszillator

Der gedämpfte harmonische Oszillator ist beschrieben durch:

$$ \frac{d^{2} x(t)}{d t^{2}}+\gamma \frac{d x(t)}{d t}+\omega_{0}^{2} x(t)=0 $$

Betrachten Sie den überdämpften Fall mit \( \gamma^{2}-4 \omega_{0}^{2}>0 \) und den Anfangsbedingungen:

$$ \begin{array}{l} {x(t=0)=a_{0}} \\ {\dot{x}(t=0)=0} \end{array} $$

Berechnen Sie die spezielle Lösung dieser Gleichung und skizzieren Sie die Funktion.

Ansätze:

Ich habe es geschafft, diese zu lösen, und bin auf folgende Ergebnis gekommen:

\( \Rightarrow \lambda_{1,2}=-\frac{\gamma}{2} \pm \sqrt{\frac{\gamma^{2}}{4}-\omega_{0}^{2}} \)
\( x(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} \)
\( c_{1}=\frac{a_{0}}{1-\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}} \)
\( c_{2}=\frac{a_{0}}{1-\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}} \)

Nun weiss ich aber nicht, wie ich die Graphen zeichnen muss. Die Lösung sollte folgende sein:

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Gedämpfter harmonischer Oszillator

Lösung für den überdämpften Fall

Im überdämpften Fall für einen gedämpften harmonischen Oszillator, definieren wir die Differentialgleichung wie folgt:
\( \frac{d^{2} x(t)}{d t^{2}}+\gamma \frac{d x(t)}{d t}+\omega_{0}^{2} x(t)=0 \)
mit \( \gamma^{2}-4 \omega_{0}^{2}>0 \) und den Anfangsbedingungen \( x(0)=a_{0} \) und \( \dot{x}(0)=0 \).

Die charakteristische Gleichung dieser Differentialgleichung ist:
\( \lambda^2 + \gamma\lambda + \omega_0^2 = 0 \)
mit Lösungen \( \lambda_{1,2} \) gegeben durch:
\( \lambda_{1,2}=-\frac{\gamma}{2} \pm \sqrt{\frac{\gamma^{2}}{4}-\omega_{0}^{2}} \)

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist:
\( x(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t} + c_{2} e^{\lambda_{2} t} \)

Mit den Anfangsbedingungen \( x(0)=a_{0} \) und \( \dot{x}(0)=0 \), können die Koeffizienten \( c_{1} \) und \( c_{2} \) bestimmt werden als:
\( c_{1}=\frac{a_{0}}{1-\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}} \)
\( c_{2}=\frac{a_{0}}{1-\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}} \)

Graph der Lösung

Da es sich um einen überdämpften Oszillator handelt, erwarten wir, dass \( x(t) \) ohne Oszillationen gegen null geht, da beide \( \lambda_{1} \) und \( \lambda_{2} \) negativ sind (aufgrund des Vorzeichens vor der Wurzel und \( -\frac{\gamma}{2} \) in jedem \( \lambda_{1,2} \)).

Ohne eine direkte Skizze gilt:
- Da beide Exponenten \( \lambda_1 \) und \( \lambda_2 \) negativ sind, nimmt \( x(t) \) exponentiell mit der Zeit ab.
- Aufgrund dessen, dass \( \gamma^{2}-4\omega_{0}^{2}>0 \), sind die Realteile der \( \lambda_{1,2} \) unterschiedlich, was bedeutet, dass die beiden Exponenten unterschiedliche "Geschwindigkeiten" im Abfallen haben.
- Die Funktion \( x(t) \) startet bei \( t=0 \) mit einem Wert von \( a_0 \) und fällt dann aufgrund der negativen Exponenten ab. Da der Startgeschwindigkeitswert \( \dot{x}(0) \) null ist, beginnt die Kurve sanft (ohne initiale Steigung) abzufallen.
- Je größer \( \gamma \) im Vergleich zu \( \omega_0 \), desto stärker ist die Dämpfung, und desto schneller fällt die Funktion auf Null, ohne dabei Oszillationen zu zeigen.

In Kurzform für eine Skizzierung:

1. Startpunkt bei \( (0, a_0) \).
2. Keine initiale Steigung; das bedeutet, dass die Kurve zunächst waagerecht beginnt.
3. Kurve fällt dann exponentiell ohne Überschwingen oder Oszillationen.
4. Die Annäherung an die x-Achse erfolgt asymptotisch; das heißt, \( x(t) \) wird mit zunehmender Zeit immer kleiner, erreicht aber erst im Unendlichen den Wert Null.

Graphisch skizzieren: Zeichnen Sie eine Kurve, die bei \( (0, a_0) \) beginnt, zu Beginn eine horizontale Tangente hat und dann sanft und kontinuierlich (ohne Oszillationen) gegen die x-Achse asymptotisch abfällt.