Kraft von Feder an einer Rolle mit Masse.

Question

Aufgabe:

Der skizzierte Mechanismus besteht aus einer Walze (Schwerpunkt S_1, Masse m_1, Trägheitsmoment J_1), die ohne zu gleiten auf einer Unterlage rollt und über eine Feder-Dämpfer-Kombination (Federkonstante c, Dämpferkonstante d) an
die Umgebung gekoppelt ist. An einem Seil, das um eine Umlenkrolle (Schwerpunkt S_2, Masse m_2, Trägheitsmoment J_2) geführt wird, ist eine Last (Schwerpunkt S_3, Masse m_3) elastisch an einer Feder (Federkonstante c) aufgehängt.

Die Lagen der Schwerpunkte von Walze und Last werden durch die Koordinaten u und q beschrieben.

Ansatz/Problem:

Es geht um die Federkräfte.

Zuerst F1 = \( cu+d\dot u\)

wieso +? sollte das die -...- sein? da Feder und Dämpfer nach links ziehen? also negativ? oder geht es hier um Betrag?

Und wie kommt man auf F2?

Laut Musterlösung: F2 = \( c(q - \frac {u}{2})\)

Der erste Teil mit cq ist klar. wie kommt man - u/2? Ich denke wir müssen w_2 nutzen. Also:

\( c(l-l_{0}),l_{0}=0 \\mit\\ l = \phi_{2}*r \\ mit \\ w_{2} = \frac {\dot u}{2r} \)

Nun das integrieren und \( \phi_{2}\) bekommen?

Dann oben einsetzen.

\( = \frac {1}{2} cu \)

Woher kommt aber das Minus "-"?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Erklärung der Federkräfte

Um die aufgeworfene Frage hinsichtlich der Federkräfte und deren Vorzeichens in dem beschriebenen Mechanismus zu klären, ist es essentiell, die physikalischen Beziehungen und die Geometrie des Systems genau zu verstehen.

Zu F1 \( cu+d\dot{u} \)

Der Ausdruck \( F1 = cu+d\dot{u} \) stellt die Kraft dar, die von der Feder-Dämpfer-Kombination ausgeübt wird. Das positive Vorzeichen vor den Termen resultiert aus der Konventionswahl bzw. der Definition der Koordinatenrichtung:
- \( cu \): Dieser Term repräsentiert die Federkraft. Die Feder versucht, die Ausdehnung oder Stauchung (je nach Richtung der Verschiebung \( u \)) zu kompensieren, indem sie eine rückstellende Kraft ausübt. Das Vorzeichen hängt vom Koordinatensystem und von der Annahme ab, dass positive \( u \) eine Verlängerung der Feder bedeutet, was eine Kraft erzeugt, die das System zurück in die Gleichgewichtslage ziehen möchte.
- \( d\dot{u} \): Dieser Term steht für die Dämpferkraft, die geschwindigkeitsabhängig ist und der Bewegung entgegenwirkt. Auch hier bestimmt die Wahl des Koordinatensystems und die Annahme, dass eine positive Geschwindigkeit \( \dot{u} \) in einer Richtung auftritt, das positive Vorzeichen.

Zu F2 \( c(q - \frac{u}{2}) \)

Für die Berechnung der Kraft \( F2 \), die auf die Last durch die Feder ausgeübt wird, geht man von der Grundannahme aus, dass die Dehnung der Feder durch die Differenz \( q - \frac{u}{2} \) gegeben ist. Der Grund hierfür lässt sich wie folgt erklären:

1. \( q \) beschreibt die Position des Schwerpunkts \( S_3 \) der Last, relativer Ausdruck der Federdehnung in bezug auf eine Referenzlage (oft die Ruhelage der Feder).
2. Der Term \( \frac{u}{2} \) berücksichtigt den Einfluss der Walzenbewegung auf die Dehnung der Feder, die die Last trägt. Der Faktor \(\frac{1}{2} \) resultiert daraus, dass die Umlenkrolle eine Aufspaltung der Bewegung der Walze auf die Last bewirkt. Insbesondere wenn die Walze um \( u \) verschoben wird, halbiert die Umlenkrolle diese Verschiebung auf \( \frac{u}{2} \), insofern die Seillänge zwischen Umlenkrolle und Last gleich bleibt.

Dies erklärt, warum \( -\frac{u}{2} \) von \( q \) subtrahiert wird, um die effektive Dehnung der Feder zu beschreiben. Das Minuszeichen taucht auf, weil eine Verschiebung der Walze nach rechts (positive \( u \)) eine Verringerung der Dehnung der Feder zur Folge hat, wenn man annimmt, dass eine Verlängerung der Feder positiv in \( q \)-Richtung gezählt wird.

Integration von \( w_2 = \frac{\dot{u}}{2r} \)

Der Ansatz, \( w_2 = \frac{\dot{u}}{2r} \) zu integrieren, um \( \phi_2 \) zu erhalten, ist irreführend. Der Term \( w_2 \) beschreibt die Winkelgeschwindigkeit der Umlenkrolle, und da \( \dot{u} \) die Geschwindigkeit der Walze ist, gibt \( \frac{\dot{u}}{2r} \) direkt die Winkelgeschwindigkeit der Umlenkrolle an, aufgrund der Halbierung des Linearbewegungseffekts durch das Seil. Eine direkte Integration dieser Winkelgeschwindigkeit bezüglich der Zeit würde den Winkel \( \phi_2 \) ergeben, aber für die Berechnung der Federkraft \( F2 \) ist diese Information nicht notwendigerweise erforderlich. Vielmehr ist die Tatsache entscheidend, dass die Längenänderung der Feder durch die relative Bewegung von Walze und Last bestimmt wird, was im Ausdruck \( c(q - \frac{u}{2}) \) reflektiert ist.