Berechnen und skizzieren Sie die Weg-Zeit-Verläufe beider Fahrzeuge.

Question

Hallo zusammen,

kann mir bitte einer diese Aufgabe vorrechnen und mir alle möglichen Zwischenrechnungen mit aufschreiben?

Vielen lieben Dank

Jessica

Answer 1

Hi,
die Geschwindigkeit des Verfolgungsfahrzeuges ist proportional zum Abstand der beiden Fahrzeuge, d.h. \( v_2 = \alpha \cdot \Delta \) mit \( \alpha = \) Proportionalitätskonstante und \( \Delta = s_1 - s_2 \) wobei \( s_{1,2} = \) die Positionen der beiden Fahrzeuge zum Zeitpunkt \( t \) sind.
Da zum Abstand \( L \) der beiden Fahrzeuge, das Verfolgungsfahrzeug die Geschwindigkeit \( v \) hat, folgt \( \alpha = \frac{v}{L} \)
Weiter gilt \( s_2 = \alpha \cdot \Delta = \frac{v}{L} ( 2 \cdot v \cdot t - s_2 ) \cdot t \). Daraus ergibt sich
$$ s_2 = \frac{2 \cdot v^2 \cdot t^2}{L+v \cdot t} $$ Die Geschwindigkeit des Verfolgungsfahrzeuges ergibt sich durch differenzieren des Weges nach der Zeit zu $$ v_2 = 2 \cdot t \cdot v^2 \cdot \frac{2L+tv}{(L+tv)^2} $$
Für \( v = 20 \) und \( L = 1000 \) sieht das folgendermaßen aus.

Die Wege sind auf der linken Skale abgetragen, die Geschwindigkeiten auf der rechten.

 

Comments

Hallo, nach einem Jahr sitze ich wieder an dieser Aufgabe. Ich habe das so wie oben gemacht und habe folgenden Kommentar von meinem Prof. bekommen. Kann mir das bitte einer korrigieren? So ganz genau verstehe ich das nicht.

Kommentar vom Prof:

s1 und s2 sind nicht die Positionen sondern die hinterlegten Strecken. Es hätte lauten müssen v2 = alpha * delta nicht s2=... , Demnach ist die berechnung der Strecke s2 falsch. Die Ableitung wurde falsch aufgestellt (Quotientenregel)!!! Die Skizze passt nicht zu ermittelten Funktion!!!! Außerdem stimmen die angebenen Werte für V ebenfalls nicht.

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Keine Ideen? Was muss man hier tun?

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Vielleicht geht's so

$$ v_2(t) = \dot s_2(t) = \frac{v}{L} [ s_1(t) - s_2(t) ] $$ mit \( s_1(t) = 2 v t \)
Nochmaliges differenzieren ergibt
$$ \ddot s_2(t) = - \frac{v}{L} \dot s_2(t) + \frac{2 v^2 }{L}  $$ mit \( s_2(0) = 0 \) und \( \dot s_2(0) = 0\)
Das ist eine Dgl. zweiter Ordnung und hat die Lösungen

$$ (1) \quad s_2(t) = 2 L \left( e^{ -\frac{v}{L} t } - 1  \right) + 2 v t  $$
$$ (2) \quad v_2(t) = - 2 v \left( e^{ -\frac{v}{L} t } - 1   \right) $$

Wie man sieht gilt jetz, \( \frac{v}{L} ( s_1(t) - s_2(t) )  = v_2(t) \), was vorher nicht der Fall war.