Kompliziertes Integral lösen [Besselfunktion]

Question

Hey,

Ich schaff es nicht das folgende Integral zu lösen. Ob per Hand oder per Computer ist egal. Mathematica und Matlab wollen es nicht ausrechnen. Es muss aber eine Lösung geben...

 

Der trigonometrische Teil stellt eine Besselfunktion 0.Ordnung in einer Approximation für große Entfernungen da. Terme die divergieren können ignoriert werden (z.B. der Teil ohne e-Funktion). Man kann auch einiges zusammenfassen, das Problem stellt der Cosinus Term da ( also die Besselfunktion).

Hat irgendjemand eine Idee, wie man rangehen sollte?

Gruß Jan

Answer 1

Substitution:

b=k*sin(θ/2)

Aber selbst bei starker Vereinfachung mit a=b=1 ergibt

∫ x*sqrt(1/(Pi*x))*cos(2*x*1-Pi/4)*(exp(-2*i*sqrt(1²-x²))-1)dx,x=0...∞

Soll i =sqrt(-1) sein? -> dieser komplexe Anteil hat mit  "Approximation für große Entfernungen" nichts zu tun...

zunächst Imaginärteil:

Ergibt -0.2751398593188535591976414359... i -> kann man also weglassen.

(genauer: vor das Integral schreiben )

Selbst wenn man nur den Realteil betrachtet, kommt eine divergierende und alternierende Kurve heraus!

Das ist so, als wenn man x*cos(x) bis ins Unendliche integrieren wollte...

konkrete Beispiele für a=b=1:

realteil bis 100: -1.2437446768098537261...*10^87

realteil bis 1000: +2.27423363910233342...*10^869

usw. immer größer und ständig wechselndes Vorzeichen!

-> da kann nichts zu einer Konstante konvergieren!

Wir müssen erst mal die Ausgangsfunktion "sauber aufstellen" bevor wir zur Integration übergehen!

Was genau soll "Approximation für große Entfernungen" bedeuten???

Ich bin ein Fan von hypergeometrischen Funktionen. Damit kann man 90% aller anderen Funktionen ersetzen oder Integrale berechnen...

Statt schon beim Aufstellen vom Integral mit Approximation {also Näherungen} zu arbeiten, sollte man dort erst mal den exakten Weg probieren.

Also: Wo kommt das Integral her?

Comments

Hallo,

also das Integral stellt die Streuamplitude einer Wellenfunktion an einem sphärischen Potentialtopf dar. Der Exponentialteil beinhaltet die Wellenphase.

http://people.physik.hu-berlin.de/~bodrova/Woche7_2016.pdf

Seite 4.

Das mit der Substitution ist soweit klar und Ich habe es soweit auch probiert. Das Problem ist, wie sie schon sagen, dass nichts konvergiert.

i= imaginäre Einheit.

Die besagte Phase hängt natürlich vom Potentiab ab, was bedeutet hier kann der Fehler liegen.

Das Potential wurde dabei wie folgt charakterisiert: V(r)= Heaviside(Radius-|r|). |r|=sqrt(x^2+y^2+z^2). Und es wurde von -unendlich bis +unendlich das Potential integriert nach z. Dieser Teil dann in die besagte Formel (oben der Link)  für delta(R) eingesetzt und schon hat man das gesuchte Integral.

Gruß

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Die BesselJ-Näherungsfunktion für große x stimmt:

BesselJ(0,x*2) etwa sqrt(1/(Pi*b*x))*cos(2*x-Pi/4)

Aber der Teil: Phase δ(x)=-sqr(a²-x²)  ?? -> hier scheint der Fehler zu sein...

Das Komplizierte an der Sache ist auch, das die End-Funktion f(θ) ist, also man mit numerischer Integration nicht weiterkommt, sondern aus

∫ f(θ,x) dx ,x=0...∞  was symbolisches braucht

Selbst bei nochmaliger Vereinfachung δ(x)=-x und ohne i kommen extrem komplizierte Integrale mit erf- & Fresnel-Integralen heraus:

Realistisch scheint mir aber erst nochmalige Vereinfachung:

bei der nur noch die erf-Funktion überbleibt, die schnell gegen 1 konvergiert.

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Hinweis 1: laut Seite 4: "führen wir die Polarkoordinaten ...ein"

damit sollte sich doch auch die obere Integrationsgrenze ändern - oder?

Hinweis 2:

Statt der zu-Null-Konvergenz-Funktion exp(-x... verwende ich mal die 1/x Funktion:

2 Beispiele, die sich dann lösen lassen:

a) Grenze 2Pi

∫ sqrt(1/(Pi*b*x))*cos(2*x*b-Pi/4)dx,x=0...2Pi

=(sqrt(1/b) (FresnelC(2 sqrt(2) sqrt(b)) + FresnelS(2 sqrt(2) sqrt(b))))/(sqrt(2) sqrt(b))

b) Grenze Unendlich:

∫ sqrt(1/(Pi*b*x))*cos(2*x*b-Pi/4)dx,x=0...∞

= (sqrt((sgn(b))/b^2) (sgn(b) + 1))/(2 sqrt(2)) mit sgn=Vorzeichenfunktion {-1 oder +1}

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Hallo,

interessante Überlegungen haben sie gemacht.

Ich habe hier schnell nochmal den kompletten Weg wie Ich zu dem Integral gekommen bin notiert:

Es geht um einen Zylinder dessen Einfallsrichtung die z Richtung ist, also senkrecht zur Höhe steht.  Dies wird über den kompletten Raum (- inf, inf) integriert:

 

Sieht eigentlich richtig aus. Können sie das bestätigen?

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Die Grenzen müssen vermutlich für f, 0 bis Unendlich sein.

(http://www.fhi-berlin.mpg.de/acnew/department/pages/teaching/pages/teaching__wintersemester__2014_2015/thomas_lunkenbein__image_formation_and_simulation__141205.pdf) Seite 32

Dort sind die Grenzen jedenfalls so.

(Also wenn man R bzw. x als Länge eines Vektors in Polarkoordinaten betrachtet kommt ein Wertebereich von 0 bis Unendlich heraus.)

Zu ihrem Hinweis 2:

Das ist leider zu schön um wahr zu sein. Einerseits muss wie schon gesagt, der komplette Raumbereich integriert werden und andererseits ist eine Vereinfachung der E funktion auf eine konvergente 1/x Funktion vermutlich nicht zulässig.

 

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Im 2. PDF ist endlich mal ein Diagramm enthalten: das Rechte

Längen-Einheit für r vermutlich 

Ångström

x-Achse ist der Kehrwert aufgetragen, also sieht man bei 0=1/(∞Ang) den endlichen Grenzwert.

Interessant ist das weitere Ansteigen des komplexen Anteils, weil hier das i auch vor dem äußeren Integrals steht.

Da BesselJ auch nur ein Integral ist, stecken 3 Integrale in der Formel und dann auch noch mit Obergrenze Unendlich und komplexen Anteilen...!

Da ist es bestimmt einfacher eine Näherungsformel zu finden, als das Integral exakt symbolisch zu berechnen.

Da laut PDF 1 die Formel selbst auch nur eine "4.3.2 Die Moli´ere-Näherung" , muss ich mal fragen, wie genau soll es denn werden? 2 Nachkommastellen reicht bestimmt eine Näherungsformel.

zu δ(r)

 1-exp(f0(r)) muss gegen 0 gehen -> also f0(r) auch gegen 0.

Da V₀ für |r| > a 0 ist, würde ich das Integral in 2 Teile aufteilen:

0...a und a...∞

Wenn ich mal Zeit & Lust habe, kann ich mir das ja mal näher anschauen...

Das ganze artet ja schon zu einer Facharbeit aus...

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Ja natürlich, es ist auch nicht so schlimm wenn wir es nicht herausbekommen.

Das Integral von f(Theta) stellt schon die eigentliche Moliere Näherung dar. Das ist das Endergebnis.

Ich bin mittlerweile zu der Überzeugung gekommen, dass der Fehler vermutlich in δ(r) liegt.

Sie sagten, sie würden es aufteilen. Angenommen der Zylinder liegt im Ursprung. Dann kann man bis an die Ränder integrieren, also von -∞ bis -a und von a bis ∞. Der Bereich zwischen -a und a beinhaltet dann das Potential.

Um aber auch die Abhängigkeit der z-Koordinate  von x und y zu bekommen, müsste man doch das selbe Integral lösen, wie Ich es oben getan habe. Also müsste die Lösung eigentlich stimmen.

Der Realteil kann ansteigen, wenn Teile des gelösten Integrals einen imaginären und realen Teil haben.

Könnten sie mir erläutern wie sie das Integral aufteilen würden?

Gruß