Die erste Maxwell-Gleichung lautet
$$ \operatorname{div} E(x)=4 \pi \rho(x), \quad x \in \mathbb{R}^{3} $$
wobei \( \rho: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Ladungsverteilung im Raum und \( E: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) ihr zugehöriges elektrisches Feld ist. Integration über einen regulär berandeten Bereich \( M \subset \mathbb{R}^{3} \) liefert
$$ \int \limits_{M} \operatorname{div} E \mathrm{d} V=4 \pi \int \limits_{M} \rho \mathrm{d} V $$
Es sei nun \( K=B_{R}(0) \) eine homogen geladene Kugel mit Radius \( R>0 \) und Gesamtladung \( Q \in \mathbb{R} \). Das Koordinatensystem sei so gewählt, dass der Mittelpunkt der Kugel im Ursprung liegt.
(a) Stellen Sie die zu der geladenen Kugel \( K \) gehörige Ladungsverteilung \( \rho(x) \) auf.
Aufgrund der Symmetrie der Kugel können wir annehmen, dass das elektrische Feld in radiale Richtung zeigt, also \( E \) von der Form
$$ E(x)=E_{0}(|x|) \frac{x}{|x|} $$
für eine reellwertige Funktion \( E_{0} \) ist.
(b) Bestimmen Sie das elektrische Feld \( E(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R}^{3} \). Unterscheiden Sie dabei zwischen \( |x| \leq R \) und \( |x|>R \)
Komme nicht mit der Aufgabe klar. Bitte um Lösungsvorschläge.
