Antwort mit KI erzeugt
a) Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren für \( \theta=0 \)
Für \( \theta=0 \) vereinfacht sich der Hamilton-Operator zu:
\(
H=\mu_{B} B g_{\|} S_{z} + h D\left(S_{z}^{2}-\frac{1}{3} S(S+1) E_{4}\right)
\)
Wir setzen die Werte von \( S_{z} \) und \( E_{4} \) (die 4x4 Einheitsmatrix) ein. \( S(S+1) \) für \( S=\frac{3}{2} \) ist \( \frac{3}{2}(\frac{3}{2}+1) = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{4} \).
\(
H = \mu_{B} B g_{\|} S_{z} + h D\left(S_{z}^{2}-\frac{1}{3} \cdot \frac{15}{4} E_{4}\right)
\)
Nach Einsetzen der Werte von \( S_{z} \) erhalten wir:
\(
H = \mu_{B} B g_{\|} \left(\begin{array}{cccc}
\frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & -\frac{3}{2}
\end{array}\right) + h D\left(\left(\begin{array}{cccc}
\frac{9}{4} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{9}{4}
\end{array}\right)-\frac{1}{3} \cdot \frac{15}{4} E_{4}\right)
\)
Berechnung des zweiten Terms:
\(
h D\left(\begin{array}{cccc}
\frac{9}{4}-\frac{5}{4} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{4}-\frac{5}{4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{4}-\frac{5}{4} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{9}{4}-\frac{5}{4}
\end{array}\right) = h D\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\)
Unter Verwendung der gegebenen Werte ist:
\(
H = \mu_{B} B g_{\|} \left(\begin{array}{cccc}
\frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & -\frac{3}{2}
\end{array}\right) + 5,7235 \times 10^9 \cdot h \left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\)
Da \( h \) die Einheit hat, die Energie in Hz ausdrückt, und \( \mu_{B} \) und \( g_{\|} \) bekannt sind, vereinfacht sich dieses Problem zu einem Eigenwertproblem für vier diagonale Matrizen, dessen Eigenwerte direkt von den Diagonalelementen der Matrizen gelesen werden können und deren Eigenvektoren die Standardbasis im \( \mathbb{C}^4 \) sind.
b) Bestimmung der Eigenwerte für \( \theta=\frac{\pi}{2} \)
Für \( \theta = \frac{\pi}{2} \), wird der Hamilton-Operator zu:
\(
H=\mu_{B} B g_{\perp} S_{x} + h D\left(S_{z}^{2}-\frac{1}{3} S(S+1) E_{4}\right)
\)
Dies erfordert die Einsetzung und Berechnung der Matrizenmultiplikation für \( S_{x} \), was komplizierter ist. Da der Teil mit \( S_{z} \) unverändert bleibt und nur zum diagonalen Teil beiträgt, konzentrieren wir uns auf den \( S_{x} \)-Teil, welcher nicht-diagonal ist.
Die Berechnung der genauen Eigenwerte von \( H \) in diesem Fall ohne Computeralgebrasystem ist nicht trivial, da sie die Lösung eines charakteristischen Polynoms vierten Grades erfordert. Jedoch kann festgehalten werden, dass die Eigenwerte von \( H \) für \( \theta=\frac{\pi}{2} \) von der Struktur und Werten von \( S_x \) sowie \( B \), \( g_{\perp} \), \( \mu_{B} \), und \( D \) abhängen.
c) Anzahl der Peaks in der ESR Messung
Die Anzahl der Peaks ist von den möglichen Übergängen zwischen den Energieniveaus abhängig. Jede Differenz \( E_{k}(B) - E_{j}(B) \), die einer der gegebenen Frequenzen entspricht, kennzeichnet einen solchen Übergang.
Ohne die genauen Eigenwerte zu kennen, ist es schwierig, die exakte Anzahl der Peaks zu bestimmen. Allerdings kann man allgemein sagen, dass für jedes Frequenzpaar \( \nu_1 \), \( \nu_2 \), und \( \nu_3 \), das eine Energieübergangsdifferenz exakt entspricht, ein Peak vorhanden sein wird. Die Variabilität von \( B \) in einem Bereich von \( 0 T \) bis \( 0,5 T \) beeinflusst dies, indem sie die exakte Position der Peaks beeinflusst, nicht jedoch die grundsätzliche Anwesenheit dieser Peaks, unter der Annahme, dass die Energiedifferenzen monoton bezüglich \( B \) sind.
Da die genaue Bestimmung der Peaks konkrete Eigenwertberechnungen erfordert, ist eine exakte Antwort hier nur mit detaillierteren Berechnungen oder unter Verwendung eines Computeralgebraprogramms möglich.
