Antwort mit KI erzeugt
Teil 1: Die 30 Heranwachsenden und ihre Physikbücher
a) Berechnung von \(P(X=15)\) und Schätzung von \(P(X < 7)\)
Wenn jeder zweite Schüler sein Buch mitbringt, könnte man annehmen, dass dies einer Bernoulli-Kette folgt, mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{2}\), da jeder Schüler unabhängig von den anderen entscheidet, sein Buch mitzubringen oder nicht. Allerdings scheint die Situation in der Praxis anders zu sein, da nie mehr als zehn Bücher mitgebracht werden. Dennoch betrachten wir zunächst die theoretische Annahme.
- Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0,5\)
- Anzahl der Versuche \(n = 30\)
Da die Anzahl groß genug ist, könnten wir die binomiale Verteilung durch die Normalverteilung approximieren, aber um \(P(X=15)\) direkt mit der Binomialverteilung zu berechnen:
\(
P(X=k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}
\)
Für \(k = 15\), \(n = 30\), \(p = 0,5\):
\(
P(X=15) = {30 \choose 15} \left(\frac{1}{2}\right)^{15} \left(\frac{1}{2}\right)^{15}
\)
Dies gibt die Wahrscheinlichkeit, dass genau 15 Bücher mitgebracht werden.
Um \(P(X < 7)\) zu schätzen, wenden wir die Tschebyschow-Ungleichung an:
\(
P(|X - \mu| \geq a) \leq \frac{\sigma^2}{a^2}
\)
Umgeformt, um die Wahrscheinlichkeit für das Gegenteil zu finden:
\(
P(X < \mu - a) \leq \frac{\sigma^2}{a^2}
\)
- Der Erwartungswert \(\mu = np = 30 \cdot 0,5 = 15\)
- Die Varianz \(\sigma^2 = np(1-p) = 30 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 7,5\)
Für \(a = \mu - 7\) (wir wollen \(P(X < 7)\) schätzen) ist \(a = 8\), wir setzen dies in die Tschebyschow-Ungleichung ein:
\(
P(X < 7) \leq \frac{7,5}{8^2} = \frac{7,5}{64}
\)
Dies gibt uns eine obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 7 Bücher mitgebracht werden.
b) Bernoullikette
Um sicherzustellen, dass das Mitbringen der Bücher tatsächlich als Bernoullikette modelliert werden kann, sollte der Lehrer Folgendes anordnen:
-
Zufällige Auswahl: Der Lehrer könnte zufällig auswählen, welcher Schüler sein Buch mitbringen soll, z.B. durch das Ziehen von Namen aus einem Topf.
-
Unabhängigkeit sicherstellen: Jede Auswahl sollte ohne Kenntnis darüber sein, wer bereits ausgewählt wurde, um Unabhängigkeit zu wahren.
-
Feste Wahrscheinlichkeit: Es muss sichergestellt sein, dass jeder Schüler mit einer festen Wahrscheinlichkeit (z.B. 50%) ausgewählt wird.
Teil 2: Ziehen aus einer Urne
a) Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\)
- Gesamtzahl der Kugeln: \(5 \, (rot) + 3 \, (weiß) + 2 \, (grün) = 10\)
- Ziehen von 3 Kugeln ohne Zurücklegen.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion \(P(X=k)\) gibt uns die Wahrscheinlichkeit, dass \(k\) rote Kugeln gezogen werden. Wir berechnen \(P(X=k)\) für \(k=0, 1, 2, 3\).
Für \(k=0\) (keine rote Kugel):
\(
P(X=0) = \frac{{5 \choose 0} {5 \choose 3}}{{10 \choose 3}}
\)
Für \(k=1\) (eine rote Kugel):
\(
P(X=1) = \frac{{5 \choose 1} {5 \choose 2}}{{10 \choose 3}}
\)
Für \(k=2\) (zwei rote Kugeln):
\(
P(X=2) = \frac{{5 \choose 2} {5 \choose 1}}{{10 \choose 3}}
\)
Für \(k=3\) (drei rote Kugeln):
\(
P(X=3) = \frac{{5 \choose 3} {5 \choose 0}}{{10 \choose 3}}
\)
Nun können wir diese Werte berechnen, um die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) zu erhalten. Dies ermöglicht eine genaue Einsicht, wie wahrscheinlich es ist, eine bestimmte Anzahl von roten Kugeln bei drei Ziehungen zu erhalten.
