Eine verflixte Integration: Integral von: a*cos(bx)*e^{-b*sin bx}

Question

Hey! Ich bin josche, neu hier und suche zur Zeit nach einem guten Mathe-Forum, welches mich durch mein Physik-Studium begleiten kann!

Ich sitze gerade an einer Integrations-Aufgabe, die sich nicht so leicht lösen lässt!

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Also hier ist meine Aufgabe:

"Berechne die Stammfunktion F(x) der folgenden Funktionen (a,b reell)"

i) f(x)=a*cos(bx)*e^{-b*sin(bx)}

Ich habe schon verschiedene Sachen versucht, u.a. partielle Integration und Substitution, nur irgendwie stehe ich wohl auf dem Schlauch, nie kommt etwas heraus mit dem ich etwas anfangen kann.

Habt ihr vielleicht einen Denkanstoß? Von mir aus auch eine Komplettlösung mit Erklärung, wobei ich eigentlich versuchen möchte es selbst zu lösen.

Vielen Dank für eure Hilfe!

Answer 1

Hi,

selbst ist immer am besten.

Ein Schubser in die richtige Richtung.

1. a würde ich aus dem Integral rausholen. Ist konstant.

2. Substiution von -b*sin(bx) = u


Grüße

Comments

Vielen Dank! Das war genau der Anstoß den ich gebraucht habe, ich konnte die ganze Geschichte ohne Probleme lösen, frage mich nur warum es nicht gleich geklappt hat.

zwei Fragen habe ich allerdings noch:

1. Warum kann man denn "a" einfach herausziehen? Müsste das nicht integriert a*x geben?

2. Gibt es auch eine Möglichkeit das ganze ohne Substitution zu lösen?


ich schicke gleich noch meinen Lösungsweg hinterher :-)

---

1. Das a ist eine Konstante. Und zwar als Faktor. Also nein, da kommt kein x hin! Das wäre der Fall, wäre a ein Summand.


2. Man könnte die Kettenregel rückwärts anwenden, da man als Vorfaktor die innere Ableitung hat. Zumindest fast. Das ist aber eigentlich genau das, was man mit der Substitution macht. Als erfahrener Integrierer könnte man hier den Schritt wohl überspringen.

Ein anderes (ähnlich sinnvolles Verfahren wie die Subst.) sehe ich gerade nicht.

---

1. Ach stimmt ja!


2. klingt komplizierter als es sein müsste :-P

ich bleibe bei der Substitution.


Mein Lösungsweg:


f(x)=a*cos(bx)*e^[-b*sin(bx)]

-b*sin(bx)=z

(dz)/(dx)=-b^2*cos(bx) daraus folgt dx=(dz)/[-b^2*cos(bx)]


∫a*cos(bx)*e^z*(dz)/[-b^2*cos(bx)]   Hinweis: das cos(bx) kürzt sich heraus

= a∫e^z*(dz)/(-b^2) = a/(-b^2)∫e^z*dz = a/(-b^2)*e^z

= a/(-b^2)*e^[-b*sin(bx)]

---

Yup so muss das aussehen ;).