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Bestimmung der Schwerpunktkoordinate \(x_s\) des Körpers \(K\)
Um die Schwerpunktkoordinate \(x_s\) des Körpers \(K\) zu bestimmen, müssen wir zuerst den Körper in verschiedene Teile zerlegen und die Schwerpunkte dieser Teile bestimmen. Da der Körper aus verschiedenen Materialien besteht und eine Bohrung hat, betrachten wir die folgenden Elemente:
1. Das rechte Rechteck ohne Bohrung (Materialdichte \(\rho_r\)),
2. Das linke Rechteck (Materialdichte \(2\rho_r\)),
3. Die Bohrung als negativen Körper (Materialdichte \(\rho_r\)).
Die Koordinaten werden relativ zu einem Ursprung an der linken unteren Ecke des Körpers K bestimmt.
Gegebene Daten:
- \(r\),
- \(a = 3r\),
- \(b = 2r\),
- \(h = 12r\),
- \(\rho_l = 2\rho_r\),
- \(g\) (aber für die Schwerpunktsberechnung nicht direkt relevant).
Schritt 1: Berechnung der Teilflächen
1. Fläche des rechten Rechtecks \(A_r = b \times h = 2r \times 12r = 24r^2\),
2. Fläche des linken Rechtecks \(A_l = a \times h = 3r \times 12r = 36r^2\),
3. Fläche der Bohrung: \(A_{bohrung} = \pi r^2\).
Schritt 2: Bestimmung der Teilschwerpunkte
Die Schwerpunkte der beiden Rechtecke liegen jeweils in deren Zentren, bei:
1. Rechtes Rechteckt \(x_r = a + \frac{b}{2} = 3r + r = 4r\),
2. Linkes Rechteck \(x_l = \frac{a}{2} = \frac{3r}{2}\).
Der Schwerpunkt der Bohrung (als negative Masse) liegt bei \(x = \frac{a}{2} = 1.5r\), da es in der Mitte des linken Rechtecks sitzt.
Schritt 3: Berechnung des gesamten Schwerpunktes
Die \(x_s\)-Koordinate des Schwerpunkts des zusammengesetzten Körpers berechnet sich durch die Summe der Momente der Einzelteile geteilt durch die Gesamtfläche. Dabei berücksichtigen wir, dass die Bohrung eine negative Fläche darstellt:
\(x_s = \frac{x_r \cdot A_r \cdot \rho_r + x_l \cdot A_l \cdot 2\rho_r - x_{bohrung} \cdot A_{bohrung} \cdot \rho_r}{A_r \cdot \rho_r + A_l \cdot 2\rho_r - A_{bohrung} \cdot \rho_r}\)
Einsetzen der gegebenen Werte:
\(x_s = \frac{4r \cdot 24r^2 \cdot \rho_r + 1.5r \cdot 36r^2 \cdot 2\rho_r - 1.5r \cdot \pi r^2 \cdot \rho_r}{24r^2 \cdot \rho_r + 36r^2 \cdot 2\rho_r - \pi r^2 \cdot \rho_r}\)
Vereinfachen und Berechnen:
\(x_s = \frac{96r^3\rho_r + 108r^3\rho_r - 1.5\pi r^3\rho_r}{24r^2\rho_r + 72r^2\rho_r - \pi r^2\rho_r}\)
\(x_s = \frac{204r^3\rho_r - 1.5\pi r^3\rho_r}{96r^2\rho_r - \pi r^2\rho_r}\)
Kürzen von \(r^2\rho_r\):
\(x_s = \frac{204r - 1.5\pi r}{96 - \pi}\)
Dieses Resultat gibt uns die Schwerpunktkoordinate \(x_s\) des gesamten Körpers K unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Dichten und der Bohrung.
