Wie Komponente des Momentenvektors in Richtung eines Vektors angeben?

Question

Jemand fit in technische Mechanik bzw Mathe?

komme bei einer Aufgabe einfach nicht weiter.

Ich habe Richtungsvektoren gegeben einmal r₁ und r₂.

Einen Momentenvektor habe ich auch gegeben. Ich soll anhand dessen Information, die Komponente des Momentenvektors in Richtung r₁ sowie r₂ angeben. Nur weiß ich leider nicht genau wie ich das machen soll, muss ich einen Betrag bilden dann diese einfügen oder wie genau geht man vor?

Sorry kann noch keine Bilder einfügen:

$$\begin{aligned} r_1 &= \begin{pmatrix} -1 \\1 \\ 2 \end{pmatrix} \text{mm} \\ r_2 &= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\1 \end{pmatrix} \text{cm}\\ M &= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \text{Nm} \end{aligned}$$

Ich danke jeden für seine Hilfe.

Comments

Ist es richtig, dass \(r_1\) in mm und \(r_2\) in cm gegeben ist?

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Ja wurde so angegeben. Aber kann man doch gegebengalls ignorieren oder ?

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Aber kann man doch gegebenfalls ignorieren oder ?

Jein. Du brauchst nur die Richtung. D.h. du kannst mm und cm auch durch m ersetzen.

Ignorieren ist ungeschickt, da du ja noch Nm hast und im Resultat auch eine Einheit angeben musst. Du vergibst dir die Möglichkeit einer Einheits- / Dimensionsprobe.

Answer 1

Hallo Tekto,

ich habe Dir das für die Komponente \(m_1\) mal gerechnet.

$$\begin{aligned} m_1 &= (M \cdot r_1) \frac{1}{|r_1|} \\ &= \left( \begin{pmatrix}  3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix}  -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right) \frac{1}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2}} \text{Nm} \\ &= (3\cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 ) \frac{1}{\sqrt{6}} \text{Nm}\\ &= \frac{3}{\sqrt{6}}\text{Nm} = \frac12 \sqrt{6}\, \text{Nm}\end{aligned}$$

Wenn Du noch die berechnete Komponente mit dem Einheitsvektor in der jeweiligen Richtung von \(r_i\) multiplizierst, kommst Du zu dem Anteil des Moments in der jeweiligen Richtung. In Geoknecht3D sähe das so aus:

(klick auf das Bild und rotiere die Szene mit der Maus)

mm, cm - Ja wurde so angegeben. Aber kann man doch gegebengalls ignorieren oder ?

Bei der Berechnung der Komponenten des Moment - ja, weil hier durch den Betrag geteilt wird, dann hebt sich das auf.

Comments

Erst mal vielen Dank, für deine ausführliche Antwort!

Ich habe noch mal m2 nachgerechnet  und folgendes rausbekommen: 9/√6 raus.

Ist das richtig?

Noch eine kleine frage, warum hast du im ersten schritt den Momentenvektor als t gekennzeichnet also warum transponiert?

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Hallo Tekto,

\(m_2= 9/\sqrt{6}\) ist richtig.

warum hast du im ersten Schritt den Momentenvektor ... transponiert?

weil das Skalarprodukt zweier Vektoren anders gar nicht möglich ist. Aus diesem Grund wird das \(^T\) auch meist weg gelassen. Allgemein kann man einen Vektor als Matrix mit einer Spalte ansehen. Und zwei Matrizen kann man nur multiplizieren, wenn die Anzahl der Spalten der ersten mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmt. Siehe auch Matrizenmultiplikation.

Wenn Du noch keine Matrizen hattest, so ignoriere das \(^T\) einfach. Das Skalarprodukt ist einfach eine Summe über die Produkte der jeweiligen Komponenten.

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Hallo Tekto,

Lu schrieb:

Die Komponente sollte aber eigentlich ein Vektor sein. Da muss man dann noch mit Vektor r multiplizieren.

Lu hat Recht. Ich hatte das oben im Geoknecht3D schon vorweg genommen. Falls Du dazu noch Fragen hast, so melde Dich bitte nochmal. Allgemein ist
$$\vec{m_i} = m_i \cdot \frac{r_i}{|r_i|} = \left( M \cdot r_i\right) \frac{1}{|r_i|} \cdot \frac{r_i}{|r_i|} = \left( M \cdot r_i\right) \frac{r_i}{r_i^2} $$

Answer 2

Hallo

 weisst du nicht was Skalarprodukt tut?

<M,r>/|r| ergibt die Komponente von M in Richtung r

Gruß lul

Comments

Könntest du mir vielleicht den ersten berechnen damit ich weiß wie es genau geht ?

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Der erste Nenner in der Formel von lul.

|r_(1)| = √((-1)^2 + 1^2 + 2^2) mm

= √(6) mm

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<M,r>/|r| ergibt die Komponente von M in Richtung r

Die Komponente sollte aber eigentlich ein Vektor sein. Da muss man dann noch mit Vektor r multiplizieren.

Answer 3

Hallo zusammen,

habe die gleiche Aufgabe jedoch als Lösung habe ich für Mr1: 1/Wurzel 6 und für Mr2 : 8/Wurzel 6 gegeben.

Habe allerdings keine Rechnungen, bin jetzt etwas verwirrt welche Zahlen richtig sind..

könnte mir jemand helfen ?

Liebe Grüße !