Antwort mit KI erzeugt
Stammfunktion von \(u(t) = A \cdot e^{-\frac{t}{T}}\)
Um die Stammfunktion von \(u(t) = A \cdot e^{-\frac{t}{T}}\) zu bestimmen, wenden wir die grundlegende Integrationstechnik für Exponentialfunktionen an. Die allgemeine Formel für die Integration einer Funktion der Form \(e^{kx}\) ist \(\frac{1}{k}e^{kx}\), wobei \(k\) eine Konstante ist.
Für unsere Funktion ist \(k = -\frac{1}{T}\). Daher lautet die Stammfunktion:
\(
\int A \cdot e^{-\frac{t}{T}} \, dt = A \cdot \left( -T \right) \cdot e^{-\frac{t}{T}} + C
\)
wobei \(C\) die Integrationskonstante ist.
Berechnung des Mittelwertes
Der Mittelwert \(U_{\text{mittel}}\) einer Funktion \(u(t)\) über ein Intervall von \(0\) bis \(T\) wird durch das Integral der Funktion im Intervall, dividiert durch die Intervallbreite (\(T\)), bestimmt:
\(
U_{\text{mittel}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} A \cdot e^{-\frac{t}{T}} \, dt
\)
Das setzen wir unsere Stammfunktion ein:
\(
U_{\text{mittel}} = \frac{1}{T} \left[ A \cdot \left( -T \right) \cdot e^{-\frac{t}{T}} \right]_{0}^{T}
\)
Wir setzen die Grenzen ein:
\(
U_{\text{mittel}} = \frac{A}{T} \left[ -T \cdot e^{-1} - \left( -T \cdot e^{0} \right) \right] = \frac{A}{T} \left[ -T \cdot \frac{1}{e} + T \right] = A \left( 1 - \frac{1}{e} \right)
\)
Effektivwertberechnung
Der Effektivwert einer Funktion \(u(t)\), definiert für ein Intervall von \(0\) bis \(T\), ist die Quadratwurzel des Mittelwertes des Quadrates der Funktion über dieses Intervall:
\(
U_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \left( A \cdot e^{-\frac{t}{T}} \right)^2 dt}
\)
Zunächst wird das Quadrat der Funktion berechnet:
\(
\left( A \cdot e^{-\frac{t}{T}} \right)^2 = A^2 \cdot e^{-2 \cdot \frac{t}{T}}
\)
Nun integrieren wir den Ausdruck innerhalb der Wurzel über das angegebene Intervall:
\(
\frac{1}{T} \int_{0}^{T} A^2 \cdot e^{-2 \cdot \frac{t}{T}} \, dt = \frac{A^2}{T} \left[ -\frac{T}{2} \cdot e^{-2 \cdot \frac{t}{T}} \right]_{0}^{T}
\)
Einsetzen der Integrationsgrenzen führt zu:
\(
\frac{A^2}{T} \left[ -\frac{T}{2} \cdot e^{-2} - \left( -\frac{T}{2} \cdot e^{0} \right) \right] = A^2 \left[ -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^2} + \frac{1}{2} \right]
\)
Wir fassen zusammen und nehmen die Quadratwurzel:
\(
U_{\text{eff}} = \sqrt{ A^2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} \right) } = A \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2}}
\)
Das Ergebnis gibt den Mittel- und Effektivwert der gegebenen Funktion über das Intervall von \(0\) bis \(T\) wieder.
