Beschleunigung eines Autos a(t)= (-t^2+6t)*e^{-t}

Question

Ich versuche mich gerade an den Mathehausaufgaben.
Aufgabe ist folgende:
Die Beschleunigung (Änderungsrate der Geschwindigkeit) eines Fahrzeuges kann in den ersten 10 Sekunden modelliert werden mit der Funktion a mit a(t)= (-t²+6t)*e^-t       (t in sekunden und a(t) in m/(s²)
Zum Zeitpunkt t=0 steht das Fahrzeug.

a) Bestimmen sie, wann die Beschleunigung des Fahrzeuges maximal ist. Wie groß ist die Beschleunigung zu diesem Zeitpunkt?

Die Beschleunigung ist bei 0,84 sek maximal und beträgt 1,87 m/(s²)

b) Bestimmen sie $$ \int _{ 0 }^{ 3 }{ ({ -t }^{ 2 }+6t)*{ e }^{ -t } } dt   $$   und interpretieren sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Also das Integral von 0 bis 3 habe ich im Taschenrechner ausgerechnet und kam auf 3,66 aber ich weiß nicht wie ich das im Sachzusammenhang interpretieren soll.. ist das dann die Geschwindigkeit in den ersten 3 Sekunden oder was?

c) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Fahrzeuges nach 6 sekunden.
Hier habe ich keine Ahnung, wie man von Beschleunigung auf Geschwindigkeit kommt.. Ich schätze mal entweder Ableitung oder Stammfunktion?
Und wenn es die Stammfunktion ist, wie bilde ich die hier?

d) Untersuchen sie, wann die Geschwindigkeit des Fahrzeuges maximal ist. Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit?
Eigt entsteht hier das gleiche Problem wie bei c)

e) Geben sie einen möglichen Funktionsterm für a(t) an, wenn die Geschwindigkeit des Fahrzeuges während der ersten 10 Sekunden mit der Funktion v mit v(t)= 6t²*4e^-2t+1  modelliert werden kann.

Ich habe die Ableitung gebildet und bin auf folgendes gekommen:

v'(t)= (12t-12t²)*4e^-2t+1

soo, ich hoffe, dass mir irgendwer helfen kann.
Danke schonmal :)

Comments

"Hier habe ich keine Ahnung, wie man von Beschleunigung auf Geschwindigkeit kommt.

 Ich schätze mal entweder Ableitung oder Stammfunktion?"

Stammfunktion stimmt. Du kannst dir das an den Einheiten überlegen.

a(t) hat die Einheit m/s^2

Wenn du auf v(t) mit Einheit m/s kommen willst, musst du irgendwie mit s multiplizieren. 

v(6) = ∫_(t=0)^{t=6} a(t) dt

Die Multiplikation mit dt (unmathematisch gesagt einer ganz kurzen Zeitspanne) sorgt für die richtige Einheit des Resultats. 

Die Integration überlasse ich mal jemandem, der eine Antwort einstellt. Vielleicht versuchst du es ja auch mal. 

EDIT: Damit LateX interpretiert wird, muss man es einbetten. Ich habe das gemacht, indem ich vor und nach deinem Integral einen Doppeldollar $$ gesetzt habe. Ausserdem habe ich dx durch dt ersetzt, da kein x im Integranden vorkommt. (Bitte melden, wenn du explizit dx haben wolltest). 

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Die Reihe ist

[ s ( t ) ] ´ = v ( t )
[ v ( t ) ] ´= a ( t )

und umgekehrt

∫ a ( t ) dt = v ( t )
∫ v ( t ) dt = s ( t )

a.) stimmt
b.)
Stammfunktion
∫  a(t) dt = ∫ (-t²+6t)*e^-t dt     
v ( t ) = -e^{-t}  * ( - t^2 + 4 * t + 4 ) + c

Zum Zeitpunkt t=0 steht das Fahrzeug.
v ( 0 ) = -4 + c = 0
c = 4
v ( t ) = -e^{-t}  * ( - t^2 + 4 * t + 4 ) + 4

Integral zwischen 0 und 3 ist  ist der Geschwindigkeitsunterschied
zwischen t = 0 und t = 3
v ( 3 ) - minus v ( 0 )
3.65 m / s

Dies ist zwar nicht gefragt kann aber zeigt aber den Sachverhalt.
Die Geschwindigkeit hat um 3.65 m/s in 3 Sekunden zugenommen.
Dies entspricht einer mittleren Beschleunigung von 3.65 / 3 = 1.22 m/s^2

c) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Fahrzeuges nach 6 sekunden.
v ( 6 ) = 4.1 m/s

d) Untersuchen sie, wann die Geschwindigkeit des Fahrzeuges maximal ist.
Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit?

Frage nach dem Extremwert der Funktion v ( t ).
Ich zeichne mal den Graph von v

~plot~ -e^{-x}  * ( - x^2 + 4 * x + 4 ) + 4 ; [[ 0 | 10 | 0 | 5 ]] ~plot~

( v ( t )  ) ´ = a ( t )
a ( t ) = 0 

(-t²+6t)*e^-t  = 0
( - t^2 + 6x ) = 0
t = 6 sec
v = 4.1 m/s ( siehe oben )

e.)
dasselbe wie beim Mathecoach

Answer 1

a(t) = e^{-t}·(6·t - t^2)

a'(t) = e^{-t}·(t^2 - 8·t + 6)

a) 

a'(t) = 0 --> t = 0.8377 s

a(0.8377) = 1.871 m/s²

b)

∫ (0 bis 3) (a(t)) dt = 3.651 m/s Geschwindigkeit nach 3 Sekunden

c)

∫ (0 bis 6) (a(t)) dt = 4.0198

d) 

a(t) = 0 --> t = 6 Nach 6 Sekunden ist die Geschwindigkeit am Höchsten. Wie groß sie ist wurde schon ausgerechnet.

e)

v(t) = 24·t^2·e^{1 - 2·t}

a(t) = v'(t) = 48·e^{1 - 2·t}·(t - t^2)

Comments

Wie rechnet man ohne GTR die 0-Stellen der Funktion bei a) aus?

Kann mir jemand den Lösungsweg schicken?