Fehlerrechnung: Kann ich nicht einfach allgemein annehmen sf = f(x+sx)-f(x)?

Question

Wenn ich eine fehlerbehaftete Größe x mit dem Fehler sx habe und aus dieser einen nach einer bestimmten Formel/Funktion eine andere Größe f(x) errechne, und ich will den Fehler auf sf auf f haben.

Kann ich dann einfach sf = f(x+s)-f(x) annehmen bzw. sf = ( |f(x+s)-f(x)| + |f(x-s)-f(x)| ) /2 ?

Wenn ich drüber nachdenke sollte das doch den richtigen Wert ergeben, und so könnte man sich die ganzen Regeln sparen (solange es nur um eine fehlerbehaftete Größe geht).

Aber so etwas ist mir noch nicht begegnet, deswegen denke ich die ganze Zeit, mir muss irgendein Denkfehler unterlaufen sein.

Hinweis:

s ist eine Standardabweichung, x ist eine angenommen normalverteilte Zufallsgröße mit der Standardabweichung s_x. Somit ist dann doch auch f eine Zufallsgröße, ihre Standardabweichung s_f möchte ich bestimmen.

Der tatsächliche Wert, dessen Messwert x ist, liegt also mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,3% im Intervall [x-s_x , x+s_x], mit 95,4% Wahrscheinlichkeit im Intervall [x-2s_x , x+2s_x], usw. (Gaußsche Glockenkurve)

Meine Frage ist also im Prinzip, wenn ich weiß dass gut zwei drittel der echten Werte hinter x innerhalb einer Standardabweichung s_x nach oben und unten um meinen Mittelwert für x liegen, kann ich dann auch annehmen, dass gut zwei drittel der echten Werte hinter f(x) auch innerhalb einer Standardabweichung s_f = ( |f(x+s_x)-f(x)| + |f(x-s_x)-f(x)| ) /2 nach oben und unten um meinen Erwartungswert f(x) liegen; oder ist das ein Trugschluss?

Beim Überlegen ist mir noch Eingefallen, die Funktion f muss dafür stetig und streng monoton wachsend bzw. fallend im Intervall [x-s_x , x+s_x] sein, sonst geht es nicht. Aber wenn das der Fall ist, trifft die Aussage dann immer zu?

Comments

Was ist sx denn für ein Fehler ? Weißt du das x ganz genau um sx nach oben abweicht ? Dann dürftest du so rechnen. Aber das weiß man ja in der Regel nicht. Wenn ich x mit 10 mm vorgebe und einen Fehler von ±1mm habe heißt das ja normal das mein Wert um 1 mm abweichen kann. Also von 9 mm bis 11 mm gehen kann.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Fehlerrechnung: Kann ich nicht einfach allgemein annehmen \(sf = f(x+sx)-f(x)\)?

Zu deiner Überlegung, den Fehler \(sf\) einer Größe \(f\) auf die vorgeschlagene Weise zu bestimmen: \(sf = f(x+s)-f(x)\) bzw. \(\sf = \frac{|f(x+s)-f(x)| + |f(x-s)-f(x)|}{2}\), gibt es einige wichtige Punkte zu beachten.

Grundlagen der Fehlerfortpflanzung

Zunächst ist es wichtig zu verstehen, dass bei der Fehlerfortpflanzung die exakte Art, wie Fehler sich durch eine Funktion \(f\) verändern, von der spezifischen Form dieser Funktion abhängt. Die linearisierte Fehlerfortpflanzung, die oft verwendet wird, basiert auf der Taylor-Approximation der Funktion \(f\) um den Punkt \(x\). Die erste Ordnung dieser Approximation führt zum Konzept der partiellen Ableitungen für jede Eingabevariable, falls es mehrere gibt, multipliziert mit dem jeweiligen Fehler dieser Variablen. Für eine einzelne Variable sieht die Formel wie folgt aus:

\( sf \approx |f'(x)| \cdot sx \)

Diese Linearisierung ist eine gute Näherung unter der Annahme, dass der Fehler \(sx\) relativ klein ist und dass die Funktion \(f\) innerhalb des Fehlerbereichs gut durch ihre Tangente angenähert werden kann.

Dein vorgeschlagener Ansatz

Dein Ansatz berücksichtigt eine direkte Berechnung der Fehlerdifferenz über die Diskretisierung des Fehlers \(sx\), indem er einfach versucht, den Unterschied in den Funktionswerten direkt zu messen. Dies kann in manchen Fällen brauchbare Ergebnisse liefern, vor allem, wenn die Funktion \(f\) linear ist oder sich annähernd linear im Bereich \([x-sx, x+sx]\) verhält.

Der Ansatz basiert auf einer konkreten Messung des Unterschieds und macht bestimmte Annahmen:

- Die Funktion \(f\) ist stetig im relevanten Bereich.
- Die Funktion \(f\) verhält sich annähernd linear oder ist monoton im gegebenen Intervall.

Deine Überlegungen zur Annahme eines mittleren Fehlers durch \(\sf = \frac{|f(x+s)-f(x)| + |f(x-s)-f(x)|}{2}\), als Maß für \(sf\), unterliegt der impliziten Annahme, dass sich die Funktion symmetrisch um \(x\) bezüglich des Fehlers verhält. Dies muss nicht immer der Fall sein, und die exakte Beziehung könnte durch Nichtlinearitäten, besonders in Funktionen mit höherer Ordnung, wesentlich komplexer sein.

Trugschluss und nicht immer zutreffend

Deine Frage, ob dies immer zutrifft, kann somit nicht allgemeingültig mit Ja beantwortet werden. Ein wesentlicher Punkt ist, dass der wirklichkeitsgetreue Fehler \(sf\) oft nicht symmetrisch ist und von der genauen Form der Funktion \(f\) im Bereich um \(x\) abhängt. Der Differentielle Ansatz (\(sf \approx |f'(x)| \cdot sx\)) betrachtet die lokale Steigung und gibt eine systematischere und allgemeiner gültige Methode zur Fehlerbestimmung.

Für stetige, monoton wachsende oder fallende Funktionen im Fehlerbereich kann dein Ansatz annäherungsweise gültige Ergebnisse erzeugen, er birgt aber die Gefahr von Ungenauigkeiten bei komplexeren Funktionen. Die wirkliche Herausforderung bei der Fehlerbestimmung liegt in der korrekten Berücksichtigung des Einflusses der Funktionsform auf die Fehlerfortpflanzung, für die simplifizierte Annahmen und Methoden (wie die lineare Approximation) etabliert sind, um ein breites Spektrum von Fällen abzudecken.