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Bestimmung des Zwischenergebnisses und der maximalen Abweichung
Um das Zwischenergebnis für \( b \) zu bestimmen, wenn \( a = 1,00 \pm 0,22 \), verwenden wir die gegebene Formel:
\( b = 1,5 \cdot \left( a + \frac{1}{a} \right) \)
Zuerst berechnen wir den mittleren Wert von \( b \), indem wir den Mittelwert von \( a \), d.h. 1,00, in die Formel einsetzen:
\( b_{mittel} = 1,5 \cdot \left( 1,00 + \frac{1}{1,00} \right) = 1,5 \cdot (1 + 1) = 1,5 \cdot 2 = 3,0 \)
Nun müssen wir die maximale Abweichung von \( b \) bestimmen, um den maximalen und den minimalen Wert zu finden, den \( b \) annehmen kann. Dazu setzen wir die Grenzwerte von \( a \) (d.h. \( 1,00 + 0,22 \) und \( 1,00 - 0,22 \)) in die Formel für \( b \) ein und wählen den Wert, der am weitesten vom Mittelwert von \( b \) entfernt liegt.
1. Maximaler Wert von \( b \) für \( a = 1,22 \):
\( b_{max} = 1,5 \cdot \left( 1,22 + \frac{1}{1,22} \right) \)
Berechnen wir den Term in der Klammer:
\( 1,22 + \frac{1}{1,22} = 1,22 + 0,8197 \approx 2,0397 \)
Setzen wir dies zurück in die Formel ein:
\( b_{max} = 1,5 \cdot 2,0397 \approx 3,0596 \)
2. Minimaler Wert von \( b \) für \( a = 0,78 \):
\( b_{min} = 1,5 \cdot \left( 0,78 + \frac{1}{0,78} \right) \)
Wiederum berechnen wir erst den Term in der Klammer:
\( 0,78 + \frac{1}{0,78} = 0,78 + 1,2821 \approx 2,0621 \)
Und setzen dies zurück in die Formel ein:
\( b_{min} = 1,5 \cdot 2,0621 \approx 3,09315 \)
Da \( b_{min} \approx 3,09315 \) weiter vom Mittelwert \( b_{mittel} = 3,0 \) entfernt ist als \( b_{max} \approx 3,0596 \), ist die Maximale Abweichung \( \Delta b \) gegeben durch die Differenz zwischen \( b_{min} \) und \( b_{mittel} \):
\( \Delta b = b_{min} - b_{mittel} \approx 3,09315 - 3,0 = 0,09315 \)
Somit ergibt sich als Zwischenergebnis \( b = 3,0 \pm 0,093 \), wobei die maximale Abweichung bei circa \( \pm 0,093 \) liegt.
