Aufgabe:
Wettrennen zwischen Voll- und Hohlzylinder
Betrachten Sie einen homogenen Vollzylinder und einen Hohlzylinder mit gleicher Masse M und
gleichem Radius R. Der Hohlraum im Hohlzylinder hat den Radius R/2.
a) Benutzen Sie Zylinderkoordinaten, um die
Trägheitsmomente der beiden Zylinder um die z-Achse zu
berechnen.
Beide Zylinder legen rollend, ohne zu gleiten, auf einer schiefen
Ebene (Neigungswinkel gegen die Horizontale α) die Strecke L
zurück. Wie groß ist am Ende der Strecke für beide Zylinder:
(b) die gesamte kinetische Energie (Rotations- und
Translationsenergie)
(c) (2 Punkte) die Translationsgeschwindigkeit.
Problem/Ansatz:
Kann jemand über meine Trägheitsmomente sehen ? Ich finde, dass das erste Trägheitsmoment für einen Vollzylinder passt aber das Trägheitsmoment für den Hohlzylinder etwas "eigenartig" aussieht. Zu dem Volumen des Hohlzylinders, ich denke, da das V in Roh im Nenner ist, dort auch aus dem Volumen sich ergebende (3/4) eigentlich zu einem (4/3) im Trägheitsmoment werden sollte auch eher dies richtig ist. Aber da erhalte ich ein Trägheitsmoment was mir persönlich "größer" erscheint als das Trägheitsmoment des Vollzylinders was nach meiner Auffassung nicht aufgehen kann.
Zu b) ich musste schon mal eine ähnliche Aufgabe in den Übungen lösen die mir mislang, vielleicht kann man mir hier evtl Tipps geben. Ich denke ich habe die E_rot in der E_ges zu beachten, geometrisch müsste ich dort noch Ansätze finden und evtl dann durch die gegebene Rotation des Zylinders noch zusammenhänge für die Winkelgeschwindigkeiten, soweit errinere ich mich an die Aufgabe aber im Moment scheint es mir nicht ganz klar zu sein wie ich hier vorzugehen habe.
Vielen Dank an alle die kommentieren werden. 
Text erkannt:
A6) Wettremen wisalue Voll wiel Hole rylinder
a) zylinderhoordivaten: \( x\left(\begin{array}{c}r \cos \varphi \\ r \text { sine } \\ h\end{array}\right) \)
\( \begin{array}{l} \text { Trächitsmomut } I_{1}=\rho \int r_{\perp}^{2} d V \\ \rho \int \limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int \limits_{0}^{4} d u \int \limits_{0}^{r} r r^{2} d r \\ \text { divit dr dealu } \\ r_{1}=r \\ \Rightarrow \rho \pi h \frac{1 R^{u}}{u} \Rightarrow \frac{M}{V} \frac{\pi R^{u}}{4} \\ V^{2} \Rightarrow \text { Volwunimtegral } \rightarrow \int \limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int \limits_{0}^{4} d h \int \limits_{0}^{2} r d r \\ V=\frac{2 \pi}{2} R^{2} 0^{0} \quad \Rightarrow \frac{\mu 2 \pi K R^{K^{2}}}{2 \pi R^{2} \times 2} I_{1}=\frac{M R^{2}}{2} \\ \end{array} \)
Text erkannt:
\( \begin{array}{l} I_{2}=S \int \limits_{V} r_{\perp}^{2} r d V \\ d v=d e d u d r \\ \Rightarrow \rho \int \limits_{0}^{2 \pi} d \rho \int \limits_{0}^{u} d h \int \limits_{e / 2}^{R} r^{3} d r=\rho 2 \pi h\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{R / 2}^{R}=\frac{\rho 2 \pi h\left(R^{4}-\frac{R^{4}}{16}\right)}{42} \\ \Rightarrow \frac{\rho \pi h R^{4}\left(1-\frac{1}{10}\right)}{2} \Rightarrow \frac{\pi h R^{4}}{2}\left(\frac{15}{16}\right) \quad \rho=\frac{m}{V} \quad V=? \Rightarrow V_{0} \text { lumeniutgol } \\ V=\int \limits_{0}^{2 \pi} d e \int \limits_{0}^{h} d h \int \limits_{\frac{R}{2}}^{R} r d r \Rightarrow \frac{x \pi h}{k}\left[r^{2}\right]_{\frac{R}{2}}^{R} \Rightarrow \pi h r^{2}\left(1-\frac{1}{h}\right) \\ I_{2}=\frac{M \pi K R^{19 i}}{\pi K R^{2}}\left(\frac{3}{4}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right) \cdot\left(\frac{15}{16}\right)=M R^{2} \frac{45}{128} \\ \end{array} \)
b)
