Wieso ist jede diff'bare Funktion der Form k(x,t)=l(x+ct)+m(x-ct) eine Lösung der 1-D Wellengleichung?

Question

Aufgabe:

Wieso ist jede diff'bare Funktion der Form k(x,t)=l(x+ct)+m(x-ct) eine Lösung der 1-D Wellengleichung?

Und wie lässt sich a(x,t)=b(x)c(t) eine Lösung der Wellengleichung in die Form von k(x,t) überführen?

Problem/Ansatz:

beim ersten Problem würde ich einfach einsetzen

Answer 1

hallo

ja das erste durch Einsetzen.

zu 2   du hast ja d² u/dt²=c² d^2u/dx²    mit dem Ansatz u=f(x)*g(t)

folgt daraus g''(t)*f(x)=c² f''(x)*g(t)  und daraus g''(t)/g(t)=c² f''(x)/f(x)  links nur von t rechts nur von x abhängig, deshalb muss gelten =const und man hat für f und g gewöhnliche Dgl,

Gruß lul

Comments

Ok danke, und für diese gewöhnlichen DGL könnte man z.B. einen Sinus/Kosinus Ansatz wählen, welcher dann auch der Form entsprechen würde oder wie zeigt man dies allgemein?

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ja das ist die Möglichkeit.  je nach Randbedingungen-

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Und wie kommt man dann auf die allgemeine Form k(x,t)=l(x+ct)+m(x-ct)?

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Mit den Additionstheoremen

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D.h. ich erhalte eine Lösung für x und eine für t und kann diese dann zusammenfügen, also irgendwie komm ich nicht weiter? Also z.B. g(x)=C1sin(kx)+C2cos(kx)?

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Ja, so für g(x) jetzt noch mit f(t) multiplizieren

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Alles klar wie kann man die Vorfaktoren zusammenfassen?

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Nimm erst mal nur sin*cos  oder sin*sin

sonst wird das zu länglich, es geht ja nicht um die allgemeinste Lösung

Gruß lul