Bestimme die Wellenzahl k1 lfür die funktion s1(x,t) und die Anzahl N für sämtliche durchlaufenen Phasen 2ϖ bis x=20cm

Question

Aufgabe:

Zwei Wellen S1(x,t)  und S2(x, t)  laufen zur gleichen Zeit t=0 von dem gemeinsamen Anfangspunkt O (keine Null) in positiver x-Richtung los.

Die Wellenlänge S1(x,t) beträgt λ1 = 2 cm, die Frequenz f = 10 Hz.

Die Wellenlänge S2(x,t) beträgt λ2 = 2 cm, Frequenz f = 11 Hz.

Beide Wellen haben die gleiche Amplitude Sm = 2 cm.

Da beide Wellen zugleich von ein und demselben Trägermedium transportiert werden, überlagern sie sich,
und zwar so, dass sich jeweils die momentanen Auslenkungen S1(x) bzw. S2(x) am gleichen Ort x zu s(x) addieren: s(x) = s1(x) + s2(x).

c1=c2= 0.2m/s.
T = 1/f = 1/10Hz = 0.1s

Aufgabe:

k = 2ϖ/λ wird auch als Wellenzahl bezeichnet. k bedeutet anschaulich die Anzahl der Phasen 2ϖ je Meter Lauflänge. Berechnen Sie k₁ für die Welle S1(x,t) und dann die Anzahl N sämtliche druchlaufenen Phasen 2ϖ bis zur Stelle x = 20cm. Schreiben Sie die Wellengleichung s1(x,t) mit k1.

λ₁ = 2 cm = 0.02m
k₁ = 2ϖ/λ₁ =  2ϖ/0.02m = 314.16m

Wellengleichung mit k1
s1(x,t) = Sm * sin(kx - ωt)
s1(x,t) = 0.02m * sin[314.16*x - (2ϖ / T)*t]

s1(1,t) =
s1(2,t) =
.....
s1(20,t) =
???

führt das in Richtung Lösung oder dran vorbei?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Wellenzahl k1

Um die Wellenzahl \(k_1\) für die Welle \(S1(x,t)\) zu berechnen, verwenden wir die gegebene Formel:

\(k_1 = \frac{2\pi}{\lambda_1}\)

Gegeben ist \(\lambda_1 = 2\) cm oder \(0,02\) m. Setzen wir diesen Wert in die Formel ein, erhalten wir:

\(k_1 = \frac{2\pi}{0,02}\)

\(k_1 = \frac{2\times 3,14159}{0,02}\)

\(k_1 = \frac{6,28318}{0,02}\)

\(k_1 = 314,159\) m\(^{-1}\)

Die Rechnung in der Frage führt also zur korrekten Lösung für \(k_1\), mit einem gerundeten Wert von etwa \(314,16\) m\(^{-1}\).

Anzahl N durchlaufener Phasen

Die Wellenzahl \(k_1\) gibt die Anzahl der Phasen \(2\pi = \) 2Pi je Meter Lauflänge an. Um die Anzahl \(N\) der durchlaufenen Phasen \(2\pi\) bis zur Stelle \(x = 20\) cm (oder \(0,2\) m) zu berechnen, müssen wir die Strecke mit \(k_1\) multiplizieren:

\(N = k_1 \times x\)

\(N = 314,159 \times 0,2\)

\(N = 62,8318\)

Die Anzahl \(N\) der durchlaufenen Phasen \(2\pi\) bis zur Stelle \(x = 20\) cm ist etwa \(62,83\). Das bedeutet, bis zu diesem Punkt haben ungefähr 62,83 vollständige Schwingungszyklen oder Phasen \(2\pi\) stattgefunden.

Wellengleichung mit \(k_1\)

Die Wellengleichung für \(S1(x,t)\) unter Verwendung von \(k_1\) lautet:

\(s1(x,t) = Sm \cdot \sin(k_1 x - \omega t)\)

Mit \(Sm = 0,02\) m, \(k_1 = 314,16\) m\(^{-1}\), und da \(\omega = 2\pi f\), wobei \(f = 10\) Hz (gegeben), erhalten wir \(\omega = 2\pi \cdot 10\).

Demnach lautet die Wellengleichung:

\(s1(x,t) = 0,02 \cdot \sin(314,16x - 2\pi \cdot 10 \cdot t)\)

Hier liegt ein Fehler vor: die Amplitude \(Sm\) sollte \(2\) cm oder \(0,02\) m sein, jedoch ist dies der Wert einer Wellenlänge, nicht der Amplitude. Die Amplitude \(Sm\) sollte direkt als gegebener Maximalwert für die Wellenauslenkung eingesetzt werden, und da \(Sm = 2\) cm = \(0,02\) m gegeben ist als Amplitude und nicht als Wellenlänge, scheint ein Missverständnis vorzuliegen. Die richtige Form der Wellengleichung, wenn man von einer Amplitude von \(Sm = 2\) cm ausgeht, wäre also:

\(s1(x,t) = Sm \cdot \sin(k_1 x - \omega t)\)

Ohne den spezifischen Wert für \(Sm\) zu verwechseln, muss also gelten:

\(s1(x,t) = 0,02m \cdot \sin(314,16 \cdot x - 20\pi \cdot t)\)

Daher führt die Berechnung und die Formulierung der Wellengleichung sowohl zur korrekten Bestimmung der Wellenzahl \(k_1\) als auch zum korrekten Ansatz für die Wellengleichung, allerdings mit einem Aufmerksamkeitsbedarf auf die korrekte Interpretation der Amplitude \(Sm\).