Zentripetalbeschleunigung als Vektor herleiten

Question

Aufgabe:

Ableiten des Ortsvektors (und dann Geschwindigkeitsvektors), um Zentripetalbeschleunigung zu erhalten

Problem/Ansatz:

Hallo, wir haben gerade im Physik LK die Zentripetalbeschleunigung behandelt, aber mir ist immer noch unklar, warum, wenn ich einen Vektor ableite, ich diesen komponentenweise ableite UND wieso ich ihn wie einen ganz normalen Faktor behandle

Also wenn ich habe

r(t) = r(cos(omega*t);sin(omega*t);0)

warum ich dann, um die Ableitung zu bekommen, die allgemeinen Ableitungsregeln benutze und so z. B. auch r als Faktor stehen lasse und nur den Vektor ableite.

Answer 1

Hallo

wenn da steht $$vec{r(t)}=(rcos(wt),rsin(wt),0)$$ heisst da erstmal es handelt sich um eine Kreisbewegung mit der konstanten Geschwindigkeit |v(t)|=w*t

d.h. r =const. du kannst die Bewegung aufteilen in x(t)=rcos(wt); y(t)=rsin(wt)

und damit die Geschwindigkeit in x und y Richtung einzeln betrachten x'(t)=v_x(t)=-rwsin(wt) entsprechend für y'(t)=v_y(t) dann x''=-rw^2cos(wt) usw.

du siehst dann dass \(\vec{a(t)}\) immer senkrecht auf \(\vec{r(t)}\) steht. Wenn r von t abhängt etwa auf einer Spiralbahn  muss man natürlich auch r(t) ableiten . Wenn man eine  Kurve fährt kann man sie allerdings immer in einem Punkt durch ihren Krümmungskreis ersetzen, deshalb gilt die Herleitung dann punktweise für jede Kurve, nur dass sich die Zentripetalbeschleunigung mit der Zeit ändert und man auch noch Tangentialbeschleunigungen haben kann.

Ist es jetzt klarer? vielleicht noch mit einem Bildchen , eingezeichnet sind 2 r  und rot 2 v Vektoren, von denen dann die Differenz Δv man sieht hoffentlich je kleiner der Winkel wir um so genauer geht Δv und damit Δv/Δt in Gegenrichtung zu r.